Страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.12. Параллелограммы $ABCD$ и $AMKD$ не лежат в одной плоскости (рис. 5.17). Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ — параллелограмм.

Рис. 5.17

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, для сторон $BC$ и $AD$ выполняется: $BC \parallel AD$ и $BC = AD$.

Также по условию, четырехугольник $AMKD$ является параллелограммом. Аналогично, его противоположные стороны $MK$ и $AD$ параллельны и равны: $MK \parallel AD$ и $MK = AD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $BMKC$ и его противоположные стороны $BC$ и $MK$.

Из того, что $BC \parallel AD$ и $MK \parallel AD$, по теореме о двух прямых, параллельных третьей, следует, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны друг другу: $BC \parallel MK$.

Из того, что $BC = AD$ и $MK = AD$, следует, что длины сторон $BC$ и $MK$ равны: $BC = MK$.

Мы установили, что в четырехугольнике $BMKC$ две противоположные стороны, $BC$ и $MK$, равны и параллельны.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник $BMKC$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник $BMKC$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $BC$ и $MK$ одновременно равны и параллельны ($BC = MK$, $BC \parallel MK$), поскольку каждая из них равна и параллельна стороне $AD$.

5.13. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 5.18). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $AC = 18$ см и $AA_1 : A_1B = 7 : 5$.

Рис. 5.18

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость треугольника $ABC$ по прямой $A_1C_1$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия их пересечения $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Таким образом, $A_1C_1 \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1BC_1$.

У этих треугольников:

• $\angle B$ — общий.
• $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle A_1BC_1$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{A_1B}{AB} = \frac{C_1B}{CB} = \frac{A_1C_1}{AC}$

По условию дано отношение $AA_1 : A_1B = 7 : 5$. Пусть $AA_1 = 7x$ и $A_1B = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда вся сторона $AB$ равна:

$AB = AA_1 + A_1B = 7x + 5x = 12x$

Найдем отношение сторон $A_1B$ и $AB$:

$\frac{A_1B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$

Теперь, используя пропорцию из подобия треугольников и известные значения, найдем длину отрезка $A_1C_1$:

$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{A_1B}{AB}$

Подставим известные значения $AC = 18$ см и $\frac{A_1B}{AB} = \frac{5}{12}$:

$\frac{A_1C_1}{18} = \frac{5}{12}$

$A_1C_1 = 18 \cdot \frac{5}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Ответ: 7,5 см.

5.14. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение $AE : EC$, если $CF : CB = 3 : 11$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника $ABC$ по прямой, проходящей через точки $E$ и $F$.

Согласно свойству параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, то линия пересечения $EF$ плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$ будет параллельна стороне $AB$. Таким образом, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EFC$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $EF \parallel AB$, то углы $\angle CEF$ и $\angle CAB$ являются соответственными при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle CEF = \angle CAB$.

Отсюда следует, что треугольник $\triangle EFC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:
$\frac{EC}{AC} = \frac{CF}{BC} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи дано отношение $CF : CB = 3 : 11$, что можно записать в виде дроби:
$\frac{CF}{BC} = \frac{3}{11}$

Из пропорциональности сторон подобных треугольников следует:
$\frac{EC}{AC} = \frac{CF}{BC} = \frac{3}{11}$

Из соотношения $\frac{EC}{AC} = \frac{3}{11}$ можно выразить длины отрезков через некоторый коэффициент пропорциональности $k$: $EC = 3k$, $AC = 11k$.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AE + EC$. Найдем длину отрезка $AE$:
$AE = AC - EC = 11k - 3k = 8k$

Теперь мы можем найти искомое отношение $AE : EC$:
$\frac{AE}{EC} = \frac{8k}{3k} = \frac{8}{3}$

Следовательно, $AE : EC = 8 : 3$.

Ответ: $8:3$

5.15. Вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершина $B$ не принадлежит этой плоскости. На сторонах $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BA : BE = BC : BF$. Докажите, что прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$.

По условию задачи вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершина $B$ не принадлежит этой плоскости. Это означает, что $A \in \alpha$, $C \in \alpha$ и $B \notin \alpha$.Поскольку точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AC$, проходящая через эти точки, также целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть $AC \subset \alpha$.

Для доказательства того, что прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$, достаточно доказать, что прямая $EF$ параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. Докажем, что прямая $EF$ параллельна прямой $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EBF$.
1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
2. По условию дано соотношение $BA : BE = BC : BF$. Это соотношение можно записать в виде пропорции для сторон, прилежащих к общему углу $\angle B$: $\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC}$.

Таким образом, две стороны треугольника $\triangle EBF$ пропорциональны двум сторонам треугольника $\triangle ABC$, а угол между этими сторонами у них общий. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle EBF$ подобен треугольнику $\triangle ABC$: $\triangle EBF \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов. В частности, соответственные углы при вершинах $E$ и $A$ равны: $\angle BEF = \angle BAC$.Эти углы являются соответственными при пересечении прямых $EF$ и $AC$ секущей $AB$. Поскольку эти соответственные углы равны, то прямые $EF$ и $AC$ параллельны: $EF \parallel AC$.

Мы получили, что:
1. Прямая $EF$ параллельна прямой $AC$ ($EF \parallel AC$).
2. Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).
3. Прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$. Если бы $EF$ лежала в $\alpha$, то точки $E$ и $F$ принадлежали бы $\alpha$. Тогда прямые $AB$ (как проходящая через точки $A \in \alpha$ и $E \in \alpha$) и $BC$ (как проходящая через $C \in \alpha$ и $F \in \alpha$) целиком лежали бы в плоскости $\alpha$. А значит, и их точка пересечения $B$ также лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию $B \notin \alpha$.

По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

5.16. Точка $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что точка $K$ — середина стороны $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $AMKC$, если площадь треугольника $ABC$ равна 28 см$^2$.

Докажите, что точка K — середина стороны BC.

Плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$ пересекаются. Линия их пересечения проходит через точки $M$ и $K$, то есть является прямой $MK$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABC$.

Существует теорема: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, если плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, то линия пересечения $MK$ плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ (в которой лежит прямая $AC$) параллельна прямой $AC$.

Итак, мы установили, что $MK \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ как плоскую фигуру. По условию, точка $M$ — середина стороны $AB$. Через точку $M$ проведена прямая $MK$, параллельная стороне $AC$.

По теореме Фалеса, если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Применительно к нашей задаче, так как $M$ - середина $AB$ ($AM = MB$) и $MK \parallel AC$, то прямая $MK$ делит сторону $BC$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Найдите площадь четырёхугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 28 см².

Рассмотрим треугольники $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$.

1. Угол $\angle B$ у них общий.

2. Так как $MK \parallel AC$, то $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle MBK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BM}{BA}$

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $BM = \frac{1}{2}AB$. Тогда коэффициент подобия: $k = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда можно найти площадь треугольника $\triangle MBK$, зная, что $S_{\triangle ABC} = 28$ см²: $S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ см²

Четырёхугольник $AMKC$ является трапецией (так как $MK \parallel AC$). Его площадь можно найти как разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$: $S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK} = 28 - 7 = 21$ см²

Ответ: 21 см².

5.17. На ребре $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $ADM$ и $BB_1C_1$;

2) $AA_1M$ и $DCC_1$.

Рис. 5.19

1) ADM и BB₁C₁

Для того чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, $(ADM)$ и $(BB_1C_1)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения.

1. Найдём общую точку. По условию, точка $M$ расположена на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ принадлежит грани $BCC_1B_1$, следовательно, точка $M$ принадлежит плоскости $(BB_1C_1)$. По определению, точка $M$ также принадлежит и плоскости $(ADM)$. Таким образом, $M$ — это общая точка двух плоскостей, и она лежит на их линии пересечения.

2. Найдём направление линии пересечения. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскости противоположных граней параллельны. Это означает, что плоскость грани $ADD_1A_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$, то есть $(ADD_1) \parallel (BCC_1)$.

3. Плоскость $(ADM)$ пересекает эти две параллельные плоскости. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Плоскость $(ADM)$ пересекает плоскость $(ADD_1)$ по прямой $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $(ADM)$ с плоскостью $(BCC_1)$ должна быть параллельна прямой $AD$.

4. В параллелепипеде $AD \parallel BC$. Это значит, что искомая линия пересечения, проходящая через точку $M$, также параллельна и прямой $BC$.

5. Построение: В плоскости грани $BCC_1B_1$ проведём прямую через точку $M$ параллельно $BC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Прямая $MK$ и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(ADM)$ и $(BB_1C_1)$ — это прямая $MK$, где точка $K$ лежит на ребре $BB_1$ и $MK \parallel BC$.

2) AA₁M и DCC₁

Найдём линию пересечения плоскости $(AA_1M)$ и плоскости грани $DCC_1D_1$, которую обозначим как $(DCC_1)$.

1. Плоскость $(AA_1M)$ определена тремя точками: $A$, $A_1$ и $M$. По условию, точка $M$ лежит на ребре $CC_1$.

2. Рассмотрим диагональное сечение $ACC_1A_1$ параллелепипеда. Эта плоскость проходит через параллельные ребра $AA_1$ и $CC_1$. Так как точки $A$ и $A_1$ лежат в этой плоскости, и точка $M$ (которая лежит на отрезке $CC_1$) также принадлежит этой плоскости, то все три точки $A$, $A_1$ и $M$ лежат в плоскости $(ACC_1A_1)$. Это означает, что плоскость $(AA_1M)$ совпадает с плоскостью диагонального сечения $(ACC_1A_1)$.

3. Таким образом, задача сводится к нахождению линии пересечения плоскости диагонального сечения $(ACC_1A_1)$ и плоскости боковой грани $(DCC_1D_1)$.

4. Данные две плоскости имеют две общие точки — $C$ и $C_1$. Следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через эти две точки. Этой прямой является ребро $CC_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AA_1M)$ и $(DCC_1)$ — это прямая $CC_1$.

5.18. На ребре $A_1B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку K (рис. 5.20). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $CC_1K$ и $ABB_1$;

2) $CDK$ и $ABB_1$.

Рис. 5.20

1) $CC_1K$ и $ABB_1$

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения.

Плоскость $ABB_1$ – это плоскость грани $ABB_1A_1$.

1. Найдем одну общую точку. Точка $K$ по условию принадлежит ребру $A_1B_1$. Ребро $A_1B_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Следовательно, точка $K$ принадлежит плоскости $ABB_1$. Также точка $K$ по определению принадлежит плоскости $CC_1K$. Таким образом, $K$ – общая точка двух плоскостей, а значит, она лежит на линии их пересечения.

2. Найдем направление линии пересечения. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани параллельны. Значит, плоскость грани $ABB_1A_1$ параллельна плоскости грани $DCC_1D_1$, то есть $(ABB_1) \parallel (DCC_1)$.

Плоскость $CC_1K$ пересекает плоскость $DCC_1$ по прямой $CC_1$.

По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $CC_1K$ с плоскостью $ABB_1$ должна быть параллельна линии $CC_1$.

3. Построение. Мы знаем, что линия пересечения проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CC_1$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $CC_1$. Так как в параллелепипеде $CC_1 \parallel BB_1 \parallel AA_1$, то эта прямая будет параллельна ребру $AA_1$ и лежать в плоскости $ABB_1A_1$.

Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $CC_1K$ и $ABB_1$ – это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $CC_1$.

2) $CDK$ и $ABB_1$

Аналогично первому пункту, найдем одну общую точку и направление линии пересечения.

1. Найдем одну общую точку. Как и в предыдущем пункте, точка $K$ принадлежит ребру $A_1B_1$, которое лежит в плоскости $ABB_1$. Точка $K$ также принадлежит плоскости $CDK$ по определению. Следовательно, $K$ – общая точка плоскостей $CDK$ и $ABB_1$.

2. Найдем направление линии пересечения. Прямая $CD$ принадлежит плоскости $CDK$. В параллелепипеде ребра, принадлежащие параллельным граням, параллельны, поэтому $CD \parallel AB$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABB_1$. Если прямая ($CD$), не лежащая в плоскости ($ABB_1$), параллельна некоторой прямой ($AB$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Таким образом, $CD \parallel (ABB_1)$.

По свойству, если плоскость ($CDK$) проходит через прямую ($CD$), параллельную другой плоскости ($ABB_1$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой ($CD$).

Следовательно, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ проходит через точку $K$ и параллельна прямой $CD$.

3. Построение. В параллелепипеде $CD \parallel AB \parallel A_1B_1$. Нам нужно построить прямую, проходящую через точку $K$ и параллельную $CD$. Так как $K \in A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel CD$, то искомая прямая совпадает с прямой $A_1B_1$.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ – это прямая $A_1B_1$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $CDK$ и $ABB_1$ – это прямая $A_1B_1$.

5.19. Точка $M$ — середина ребра $DC$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$. Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Рис. 5.21

Рассмотрим тетраэдр $DABC$, у которого точка $M$ является серединой ребра $DC$. Нам требуется построить сечение плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$, а затем вычислить площадь этого сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и параллельной прямым AD и BD.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямым $AD$ и $BD$. Так как прямые $AD$ и $BD$ пересекаются в точке $D$, они определяют плоскость $ABD$. Если плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым $AD$ и $BD$, то она параллельна плоскости, содержащей эти прямые, то есть плоскости $ABD$.

Для построения сечения воспользуемся свойствами параллельности:

1. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$. Рассмотрим грань $ADC$. Поскольку $M$ – середина ребра $DC$, и плоскость $\alpha$ должна пересекать грань $ADC$ по прямой, параллельной $AD$, проведем через $M$ прямую, параллельную $AD$, до пересечения с ребром $AC$. Пусть точка пересечения будет $P$. Тогда $MP \parallel AD$. По теореме Фалеса (или как свойство средней линии треугольника), если $M$ – середина $DC$ и $MP \parallel AD$, то $P$ является серединой ребра $AC$.
2. Аналогично, плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $BD$. Рассмотрим грань $DBC$. Проведем через $M$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с ребром $BC$. Пусть точка пересечения будет $Q$. Тогда $MQ \parallel BD$. По теореме Фалеса, если $M$ – середина $DC$ и $MQ \parallel BD$, то $Q$ является серединой ребра $BC$.
3. Соединим точки $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ лежит в плоскости сечения.

Таким образом, сечением тетраэдра является треугольник $MPQ$. Проверим, что плоскость $MPQ$ параллельна заданным прямым. Прямая $MP$ в плоскости $MPQ$ параллельна $AD$. Прямая $MQ$ в плоскости $MPQ$ параллельна $BD$. Поскольку плоскость $MPQ$ содержит две пересекающиеся прямые ($MP$ и $MQ$), которые соответственно параллельны прямым $AD$ и $BD$, то плоскость $MPQ$ параллельна плоскости $ABD$, содержащей $AD$ и $BD$.

Ответ: Сечением является треугольник $MPQ$, где $P$ – середина ребра $AC$, а $Q$ – середина ребра $BC$.

Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно a.

По условию, каждое ребро тетраэдра равно $a$. Это означает, что все грани тетраэдра $DABC$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Определим длины сторон треугольника $MPQ$:

1. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ADC$, так как $M$ – середина $DC$ и $P$ – середина $AC$. Следовательно, длина $MP$ равна половине длины стороны $AD$. Поскольку $AD = a$, то $MP = \frac{a}{2}$.
2. Отрезок $MQ$ является средней линией треугольника $DBC$, так как $M$ – середина $DC$ и $Q$ – середина $BC$. Следовательно, длина $MQ$ равна половине длины стороны $BD$. Поскольку $BD = a$, то $MQ = \frac{a}{2}$.
3. Отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$, так как $P$ – середина $AC$ и $Q$ – середина $BC$. Следовательно, длина $PQ$ равна половине длины стороны $AB$. Поскольку $AB = a$, то $PQ = \frac{a}{2}$.

Все стороны треугольника $MPQ$ равны $\frac{a}{2}$. Таким образом, треугольник $MPQ$ является равносторонним треугольником со стороной $s = \frac{a}{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$.

Подставим значение стороны $s = \frac{a}{2}$ в формулу площади:

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4}$

$S_{MPQ} = \frac{\sqrt{3}a^2}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}a^2}{16}$.