Номер 5.7, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.7. Прямые $a$ и $b$ пересекаются, а плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$.

Каким может быть взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Это означает, что точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и прямой $b$ ($M \in a$ и $M \in b$).

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$ ($a \parallel \alpha$). По определению параллельности прямой и плоскости, у них нет общих точек. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$, она не может принадлежать плоскости $\alpha$, то есть $M \notin \alpha$.

Рассмотрим возможные варианты взаимного расположения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Так как точка $M$ принадлежит прямой $b$, но не принадлежит плоскости $\alpha$, то прямая $b$ не может целиком лежать в плоскости $\alpha$. Таким образом, остаются две возможности: прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ или прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Покажем, что оба этих случая возможны.

1. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Через пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость $\beta$. Предположим, что плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$. Линию их пересечения обозначим как $c$. Согласно свойству, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, $c \parallel a$.В плоскости $\beta$ прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $M$. Поскольку $c \parallel a$, прямая $b$ пересекает и прямую $c$ в некоторой точке $N$. Так как точка $N$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, $N$ является точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Этот случай возможен.

2. Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Этот случай также возможен. Снова рассмотрим плоскость $\beta$, заданную прямыми $a$ и $b$. Если плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, будет параллельна плоскости $\alpha$. В частности, прямая $b$ будет параллельна плоскости $\alpha$. Такая конфигурация удовлетворяет всем условиям задачи, так как $a$ и $b$ пересекаются, и при этом $a \parallel \alpha$ (поскольку $a \subset \beta$ и $\beta \parallel \alpha$).

Таким образом, прямая $b$ может как пересекать плоскость $\alpha$, так и быть ей параллельна.

Ответ: Прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$ или быть параллельной ей.