Номер 5.2, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.13). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро:

1) $AD$;

2) $C_1D_1$;

3) $BB_1$?

Рис. 5.13

1) AD
Прямая (ребро) параллельна плоскости (грани), если она не лежит в этой плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Ребро $AD$ принадлежит граням $ABCD$ и $ADD_1A_1$, поэтому оно не может быть им параллельно. Ребро $AD$ пересекает плоскости граней $ABB_1A_1$ (в точке $A$) и $DCC_1D_1$ (в точке $D$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.
1. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. В ней лежит ребро $BC$. Так как $ABCD$ — грань куба (квадрат), то $AD \parallel BC$. Поскольку ребро $AD$ не лежит в плоскости $BCC_1B_1$ и параллельно ребру $BC$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $AD$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
2. Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$. В ней лежит ребро $A_1D_1$. Так как $ADD_1A_1$ — грань куба (квадрат), то $AD \parallel A_1D_1$. Поскольку ребро $AD$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ и параллельно ребру $A_1D_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $AD$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: плоскостям граней $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) C₁D₁
Ребро $C_1D_1$ принадлежит граням $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$, поэтому не может быть им параллельно. Ребро $C_1D_1$ пересекает плоскости граней $ADD_1A_1$ (в точке $D_1$) и $BCC_1B_1$ (в точке $C_1$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $ABCD$ и $ABB_1A_1$.
1. Рассмотрим грань $ABCD$. В ней лежит ребро $CD$. Так как $DCC_1D_1$ — грань куба (квадрат), то $C_1D_1 \parallel CD$. Поскольку ребро $C_1D_1$ не лежит в плоскости $ABCD$ и параллельно ребру $CD$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABCD$.
2. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. В ней лежит ребро $AB$. В кубе ребра $C_1D_1$ и $AB$ параллельны (так как $C_1D_1 \parallel CD$ и $CD \parallel AB$). Поскольку ребро $C_1D_1$ не лежит в плоскости $ABB_1A_1$ и параллельно ребру $AB$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABB_1A_1$.
Ответ: плоскостям граней $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

3) BB₁
Ребро $BB_1$ принадлежит граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$, поэтому не может быть им параллельно. Ребро $BB_1$ пересекает плоскости граней $ABCD$ (в точке $B$) и $A_1B_1C_1D_1$ (в точке $B_1$), поэтому оно им также не параллельно.
Остаются две грани: $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
1. Рассмотрим грань $ADD_1A_1$. В ней лежит ребро $AA_1$. Так как $ABB_1A_1$ — грань куба (квадрат), то $BB_1 \parallel AA_1$. Поскольку ребро $BB_1$ не лежит в плоскости $ADD_1A_1$ и параллельно ребру $AA_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $ADD_1A_1$.
2. Рассмотрим грань $DCC_1D_1$. В ней лежит ребро $CC_1$. Так как $BCC_1B_1$ — грань куба (квадрат), то $BB_1 \parallel CC_1$. Поскольку ребро $BB_1$ не лежит в плоскости $DCC_1D_1$ и параллельно ребру $CC_1$, которое лежит в этой плоскости, то ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $DCC_1D_1$.
Ответ: плоскостям граней $ADD_1A_1$ и $DCC_1D_1$.