Номер 4.33, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.33. На рёбрах $AB$, $AC$ и $BB_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $M, N$ и $K$ (рис. 4.24). Постройте прямую, проходящую через точку $N$ и пересекающую прямые $CK$ и $MC_1$.

Рис. 4.24

Искомая прямая, назовем ее $l$, должна проходить через точку $N$ и пересекать прямые $CK$ и $MC_1$. Такая прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости $\alpha$, проходящей через точку $N$ и прямую $CK$, и плоскости $\beta$, проходящей через точку $N$ и прямую $MC_1$. Плоскость $\alpha$ определяется точками $(NCK)$, а плоскость $\beta$ — точками $(NMC_1)$. Задача сводится к построению прямой $l = (NCK) \cap (NMC_1)$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки. Одна общая точка — $N$ — известна по условию, так как она принадлежит обеим плоскостям. Для нахождения второй общей точки построим следы плоскостей $\alpha$ и $\beta$ на вспомогательной плоскости. В качестве такой плоскости удобно выбрать плоскость грани $(BCC_1B_1)$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Найдём линию пересечения (след) плоскости $\alpha=(NCK)$ с плоскостью грани $(BCC_1B_1)$. Точки $C$ и $K$ принадлежат обеим плоскостям (точка $C$ лежит на ребре $BC$, а точка $K$ — на ребре $BB_1$). Следовательно, прямая $CK$ является их линией пересечения.

2. Найдём след плоскости $\beta=(NMC_1)$ на плоскости $(BCC_1B_1)$. Точка $C_1$ принадлежит обеим плоскостям. Чтобы найти вторую точку следа, рассмотрим прямую $MN$, которая лежит в плоскости $\beta$ и в плоскости основания $(ABC)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(BCC_1B_1)$ и в плоскости основания $(ABC)$. В плоскости основания $(ABC)$ построим прямую $MN$ и продлим ее до пересечения с прямой $BC$. Обозначим точку их пересечения $X$. Точка $X$ принадлежит плоскости $\beta$ (так как $X \in MN$) и плоскости $(BCC_1B_1)$ (так как $X \in BC$). Таким образом, след плоскости $\beta$ на плоскости $(BCC_1B_1)$ — это прямая $C_1X$.

3. Найдём вторую общую точку плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Прямые $CK$ и $C_1X$ лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$ и являются следами плоскостей $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Точка их пересечения $Y = CK \cap C_1X$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

4. Построим искомую прямую. Мы нашли две общие точки плоскостей $\alpha$ и $\beta$: $N$ и $Y$. Следовательно, искомая прямая $l$ — это прямая $NY$.

Построенная прямая $NY$ проходит через точку $N$ по построению. Она пересекает прямую $CK$ в точке $Y$. Поскольку прямая $NY$ и прямая $MC_1$ лежат в одной плоскости $\beta=(NMC_1)$, они также пересекаются (в общем случае, если они не параллельны), что удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямая — это прямая $NY$, где точка $Y$ является точкой пересечения прямых $CK$ и $C_1X$, а точка $X$ — точкой пересечения прямых $MN$ и $BC$.