Номер 4.31, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.31. На грани $ADD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $K$ (рис. 4.23).

Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $DB$, пересекает плоскость $ABB_1$.

Рис. 4.23

Пусть $l$ — прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $DB$. Нам нужно найти точку пересечения прямой $l$ с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Обозначим эту точку как $P$.

Построение

1. Построим проекцию точки $K$ на плоскость основания $ABCD$ параллельно боковому ребру $AA_1$. Так как точка $K$ принадлежит грани $ADD_1A_1$, ее проекция будет лежать на ребре $AD$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $AD$. Обозначим точку пересечения $K_{AD}$.
2. В плоскости основания $ABCD$ проведем через точку $K_{AD}$ прямую, параллельную диагонали $DB$.
3. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $P_{AB}$.
4. Искомая точка $P$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$ и ее проекцией на плоскость $ABCD$ является точка $P_{AB}$. Кроме того, прямая $KP$ должна быть параллельна $DB$, а значит, и прямой $K_{AD}P_{AB}$. Это возможно, если $P$ находится на той же "высоте", что и точка $K$. Для этого проведем через точку $K$ прямую, параллельную ребру $AD$, до пересечения с ребром $AA_1$. Обозначим точку пересечения $K_{A_1}$.
5. Через точку $P_{AB}$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$. Через точку $K_{A_1}$ проведем прямую, параллельную ребру $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $P$.

Обоснование

Введем систему координат с началом в точке $A$, направив оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$. Вектор $\vec{DB}$ имеет координаты $(a, -a, 0)$.

Точка $K$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$), поэтому ее координаты $K(0, y_k, z_k)$, где $0 \le y_k \le a$ и $0 \le z_k \le a$.

Прямая $l$, проходящая через $K$ параллельно $\vec{DB}$, задается уравнением: $(x,y,z) = (0, y_k, z_k) + t(a, -a, 0) = (ta, y_k - ta, z_k)$.

Плоскость грани $ABB_1A_1$ задается уравнением $y=0$. Чтобы найти точку пересечения $P$, приравняем координату $y$ в уравнении прямой к нулю:

$y_k - ta = 0 \Rightarrow t = \frac{y_k}{a}$

Подставим найденное значение $t$ обратно в уравнение прямой, чтобы найти координаты точки $P$:

$P = \left(a \cdot \frac{y_k}{a}, y_k - a \cdot \frac{y_k}{a}, z_k\right) = (y_k, 0, z_k)$.

Теперь сопоставим это с нашим построением:

• Шаг 1: Проекция $K(0, y_k, z_k)$ на $AD$ (ось $Oy$) - это точка $K_{AD}(0, y_k, 0)$. Длина отрезка $AK_{AD}$ равна $y_k$.
• Шаги 2 и 3: В плоскости $z=0$ проводим прямую через $K_{AD}$ параллельно $DB$. Треугольники $\triangle AK_{AD}P_{AB}$ и $\triangle ADB$ подобны (по двум углам, $\angle K_{AD}AP_{AB}$ общий, $\angle AK_{AD}P_{AB} = \angle ADB$ как соответственные при параллельных $K_{AD}P_{AB}$ и $DB$ и секущей $AD$). Следовательно, $\frac{AP_{AB}}{AB} = \frac{AK_{AD}}{AD}$. Так как $AB=AD=a$, получаем $AP_{AB} = AK_{AD} = y_k$. Точка $P_{AB}$ имеет координаты $(y_k, 0, 0)$.
• Шаг 4: Проекция $K(0, y_k, z_k)$ на $AA_1$ (ось $Oz$) - это точка $K_{A_1}(0, 0, z_k)$. Длина отрезка $AK_{A_1}$ равна $z_k$.
• Шаг 5: Точка $P$ строится в плоскости $y=0$ как вершина прямоугольника $AP_{AB}PK_{A_1}$. Ее координаты будут $(AP_{AB}, 0, AK_{A_1}) = (y_k, 0, z_k)$.

Результаты, полученные аналитически и геометрическим построением, совпадают. Следовательно, построение верное.

Ответ: Искомая точка $P$ построена в соответствии с приведенным алгоритмом.