Номер 4.34, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.34. Вершина $A$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через вершины $B$, $C$ и $D$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$, $C_1$ и $D_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $DD_1 = 9$ см, $BB_1 = 26$ см.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Проведем через точку $O$ прямую, параллельную прямым $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O_1$.

Рассмотрим четырехугольник $BDD_1B_1$. Так как по условию $BB_1 \parallel DD_1$, этот четырехугольник является трапецией с основаниями $BB_1$ и $DD_1$. Точка $O$ — середина боковой стороны $BD$. Прямая $OO_1$ параллельна основаниям трапеции. Следовательно, отрезок $OO_1$ является средней линией трапеции $BDD_1B_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Теперь рассмотрим фигуру, образованную отрезками $AC$, $CC_1$ и отрезком $AC_1$ в плоскости $\alpha$. Поскольку точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, то расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно нулю, то есть $AA_1 = 0$. Фигуру $ACC_1A$ можно рассматривать как трапецию, у которой одно из оснований ($AA_1$) равно нулю. Точка $O$ является серединой боковой стороны $AC$. Отрезок $OO_1$ параллелен основанию $CC_1$. Таким образом, $OO_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A$.

Применим формулу средней линии трапеции:

$OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставив $AA_1 = 0$, получаем:

$OO_1 = \frac{0 + CC_1}{2} = \frac{CC_1}{2}$

Мы получили два выражения для длины отрезка $OO_1$. Приравняем их:

$\frac{CC_1}{2} = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$CC_1 = BB_1 + DD_1$

Подставим известные значения $BB_1 = 26$ см и $DD_1 = 9$ см:

$CC_1 = 26 + 9 = 35$ см.

Ответ: 35 см.