Номер 4.36, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.36. Точка $E$ — середина медианы $BM$ треугольника $ABC$. Прямая $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$, считая от вершины $B$.

Для решения этой задачи можно использовать метод дополнительного построения и свойства подобных треугольников (в частности, теорему Фалеса).

1. Построение. Проведём через точку $M$ (середину стороны $AC$) прямую, параллельную прямой $AE$. Пусть эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Таким образом, мы имеем $MD \parallel AK$.

2. Рассмотрим треугольник $AKC$.
По условию, $BM$ — медиана, значит $M$ — середина стороны $AC$.
По нашему построению, прямая $MD$ параллельна стороне $AK$ этого треугольника ($MD \parallel AK$).
Согласно теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает на одной его стороне отрезок, равный её половине (в нашем случае прямая проходит через середину стороны $AC$), то она отсекает и на другой стороне отрезок, равный её половине. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $KC$.
Таким образом, мы получаем равенство: $KD = DC$.

3. Рассмотрим треугольник $BMD$.
По условию, точка $E$ — середина медианы $BM$.
Отрезок $EK$ является частью прямой $AK$, которая по нашему построению параллельна $MD$. Следовательно, $EK \parallel MD$.
В треугольнике $BMD$ прямая $EK$ проходит через середину стороны $BM$ параллельно стороне $MD$. По той же теореме Фалеса, $EK$ пересекает сторону $BD$ в её середине. Этой точкой пересечения является точка $K$.
Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BD$.
Таким образом, мы получаем равенство: $BK = KD$.

4. Нахождение искомого отношения.
Из шагов 2 и 3 мы получили два равенства:
1) $KD = DC$
2) $BK = KD$
Объединяя их, получаем, что $BK = KD = DC$. Это значит, что сторона $BC$ разделена точками $K$ и $D$ на три равных отрезка.
Нас интересует отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$, то есть отношение $\frac{BK}{KC}$.
Отрезок $KC$ состоит из двух частей: $KC = KD + DC$. Поскольку $KD = BK$ и $DC = BK$, мы можем написать: $KC = BK + BK = 2 \cdot BK$.
Теперь найдём искомое отношение:
$\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{2 \cdot BK} = \frac{1}{2}$.

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении 1 к 2.

Ответ: Точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении 1:2, считая от вершины $B$.