Номер 5.29, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.29. Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.

Обозначим данные пересекающиеся плоскости как $\alpha$ и $\beta$, а третью плоскость — как $\gamma$.

Пусть линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ есть прямая $c$. То есть, $\alpha \cap \beta = c$.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают плоскость $\gamma$ по параллельным прямым. Обозначим эти прямые как $a$ и $b$ соответственно.

Тогда:

• $\alpha \cap \gamma = a$
• $\beta \cap \gamma = b$
• $a \parallel b$

Необходимо доказать, что линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть прямая $c$, параллельна плоскости $\gamma$ ($c \parallel \gamma$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $c$ не параллельна плоскости $\gamma$.

Если прямая не параллельна плоскости, то она пересекает эту плоскость в единственной точке. Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$ в некоторой точке $M$.

Рассмотрим точку $M$:

1. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$), то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.
2. По нашему предположению, точка $M$ также принадлежит плоскости $\gamma$: $M \in \gamma$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что точка $M$ является общей точкой для всех трех плоскостей: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.
4. Так как точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\alpha$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $a$. Следовательно, $M \in a$.
5. Аналогично, так как точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\beta$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Следовательно, $M \in b$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$.

Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$, было неверным. Следовательно, прямая $c$ не может пересекать плоскость $\gamma$.

Согласно определению параллельности прямой и плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они параллельны. Значит, $c \parallel \gamma$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.