Номер 5.31, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.31. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $E$ так, что $BE : EC = 2 : 1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно прямым $AB$ и $CD$. Найдите периметр сечения, если $AB = 18$ см, $CD = 12$ см.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ - плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$.

1. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$, она пересекает плоскость грани $(ABC)$, содержащую прямую $AB$, по прямой, параллельной $AB$. Проведём в плоскости $(ABC)$ через точку $E$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечёт ребро $AC$ в некоторой точке $F$. Таким образом, получили сторону сечения $EF$, причём $EF || AB$.

2. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$, она пересекает плоскость грани $(BCD)$, содержащую прямую $CD$, по прямой, параллельной $CD$. Проведём в плоскости $(BCD)$ через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечёт ребро $BD$ в некоторой точке $K$. Таким образом, получили сторону сечения $EK$, причём $EK || CD$.

3. Мы уже имеем три точки сечения $E$, $F$, $K$. Чтобы найти четвёртую, воспользуемся снова условием параллельности. Плоскость $\alpha$ параллельна $AB$, значит она пересекает плоскость грани $(ABD)$ по прямой, параллельной $AB$. Проведём в плоскости $(ABD)$ через точку $K$ прямую, параллельную $AB$. Эта прямая пересечёт ребро $AD$ в некоторой точке $M$. Получили сторону сечения $KM$, причём $KM || AB$.

4. Соединим точки $M$ и $F$. Четырёхугольник $EFKM$ - искомое сечение.

По построению $EF || AB$ и $KM || AB$, следовательно $EF || KM$. Также можно доказать, что $FM || CD$. Таким образом, сечение $EFKM$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $EFKM$ равен $P = 2(EF + EK)$. Найдём длины сторон $EF$ и $EK$.

1. Рассмотрим грань $(ABC)$. Так как $EF || AB$, то треугольник $\triangle CEF$ подобен треугольнику $\triangle CBA$. Из подобия следует соотношение:
$\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CB}$
По условию $BE : EC = 2 : 1$. Пусть $EC = x$, тогда $BE = 2x$, а вся сторона $BC = BE + EC = 2x + x = 3x$.
Следовательно, $\frac{CE}{CB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.
Тогда $EF = AB \cdot \frac{CE}{CB} = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$ см.

2. Рассмотрим грань $(BCD)$. Так как $EK || CD$, то треугольник $\triangle BEK$ подобен треугольнику $\triangle BCD$. Из подобия следует соотношение:
$\frac{EK}{CD} = \frac{BE}{BC}$
Из условия $\frac{BE}{BC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
Тогда $EK = CD \cdot \frac{BE}{BC} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

3. Теперь найдём периметр сечения, которое является параллелограммом $EFKM$:
$P_{EFKM} = 2(EF + EK) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.