Номер 4.13, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.13. Сколько плоскостей задают четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости? Сделайте рисунок.

Согласно одной из аксиом стереометрии (а точнее, следствию из них), через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. В условии задачи даны четыре попарно параллельные прямые. Обозначим их как $l_1, l_2, l_3, l_4$. Условие "никакие три из которых не лежат в одной плоскости" гарантирует, что каждая пара прямых будет определять уникальную, не совпадающую с другими, плоскость.

Следовательно, чтобы найти общее количество плоскостей, нам нужно посчитать, сколько различных пар можно составить из четырех данных прямых. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число прямых $n=4$, а для задания одной плоскости мы выбираем пару прямых, то есть $k=2$. Подставим эти значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, четыре попарно параллельные прямые, для которых никакие три не лежат в одной плоскости, задают 6 различных плоскостей.

Рисунок:

В качестве наглядной модели можно рассмотреть четыре боковых ребра параллелепипеда. Они попарно параллельны, и никакие три из них не лежат в одной плоскости. Каждая пара таких ребер задает одну плоскость: либо боковую грань, либо диагональное сечение.

На рисунке прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ — это четыре параллельных боковых ребра. Пары этих прямых задают 6 плоскостей: 1) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_2$ (передняя грань); 2) плоскость, проходящая через $l_3$ и $l_4$ (задняя грань); 3) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_4$ (левая грань); 4) плоскость, проходящая через $l_2$ и $l_3$ (правая грань); 5) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_3$ (диагональное сечение); 6) плоскость, проходящая через $l_2$ и $l_4$ (другое диагональное сечение).

Ответ: 6 плоскостей.