Страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.11. Каким может быть взаимное расположение прямых $b$ и $c$, если:

1) прямые $a$ и $b$ пересекаются, а прямые $a$ и $c$ параллельны;

2) прямые $a$ и $b$ параллельны, а прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

1) Дано, что прямые a и b пересекаются, а прямые a и c параллельны.

Пусть прямые a и b пересекаются в точке M. Факт пересечения означает, что прямые a и b лежат в одной плоскости (назовем ее $\alpha$).

Условие $a \parallel c$ означает, что прямые a и c также задают единственную плоскость (назовем ее $\beta$).

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямой b и плоскости $\beta$:

Случай 1: Прямая b лежит в плоскости $\beta$.
В этом случае прямые b и c обе лежат в плоскости $\beta$, то есть они компланарны. Поскольку прямая b пересекает прямую a, а прямая c параллельна прямой a, то прямая b не может быть параллельна прямой c (иначе, по свойству транзитивности, прямые a и b были бы параллельны, что противоречит условию). Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Следовательно, в этом случае прямые b и c пересекаются.

Случай 2: Прямая b не лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку прямая b пересекает прямую a в точке M, а прямая a лежит в плоскости $\beta$, то прямая b пересекает плоскость $\beta$ в точке M. Точка M принадлежит прямой a. Так как $a \parallel c$, то прямые a и c не имеют общих точек, а значит, точка M не принадлежит прямой c. Таким образом, прямая b пересекает плоскость, в которой лежит прямая c, в точке, не принадлежащей прямой c. Это означает, что прямые b и c не пересекаются. Так как они лежат в разных плоскостях (прямая c в $\beta$, а прямая b не в $\beta$), они не могут быть параллельными. Прямые, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Таким образом, прямые b и c могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися.

Ответ: Прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.

2) Дано, что прямые a и b параллельны, а прямые a и c скрещивающиеся.

Из условия $a \parallel b$ следует, что существует единственная плоскость $\alpha$, которой принадлежат обе эти прямые.

То, что прямые a и c скрещивающиеся, означает, что они не пересекаются и не параллельны, а следовательно, не лежат в одной плоскости. Значит, прямая c не лежит в плоскости $\alpha$.

Возможны два варианта расположения прямой c относительно плоскости $\alpha$:

Случай 1: Прямая c пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке P.
Поскольку a и c скрещиваются, они не могут пересекаться, поэтому точка P не лежит на прямой a.

• Если точка P лежит на прямой b, то прямые b и c имеют общую точку P, то есть они пересекаются.
• Если точка P не лежит на прямой b, то прямые b и c не пересекаются. Проверим, могут ли они быть параллельны. Если предположить, что $b \parallel c$, то из условия $a \parallel b$ по свойству транзитивности следовало бы, что $a \parallel c$. Это противоречит условию, что a и c скрещиваются. Значит, b и c не параллельны. Прямые, которые не пересекаются и не параллельны, являются скрещивающимися.

Случай 2: Прямая c параллельна плоскости $\alpha$.
Так как прямая b лежит в плоскости $\alpha$, а прямая c ей параллельна, то прямые b и c не могут пересекаться. Как и в предыдущем рассуждении, они не могут быть и параллельны (иначе $a \parallel c$). Следовательно, в этом случае прямые b и c являются скрещивающимися.

Объединяя выводы из всех рассмотренных случаев, получаем, что прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Ответ: Прямые b и c могут пересекаться или быть скрещивающимися.

4.12. Сколько плоскостей могут задавать три попарно параллельные прямые? Сделайте рисунок.

Согласно аксиомам стереометрии, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость. Рассмотрим три попарно параллельные прямые $a$, $b$ и $c$. Для их взаимного расположения в пространстве существует два возможных случая.

Случай 1: Все три прямые лежат в одной плоскости
Если все три попарно параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости (являются компланарными), то они все вместе задают только эту единственную плоскость $\alpha$.

Случай 2: Прямые не лежат в одной плоскости
Если три попарно параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ не являются компланарными, то каждая пара этих прямых будет определять отдельную, уникальную плоскость. Таким образом, мы получаем три различные плоскости:
1. Плоскость $\alpha$, содержащая прямые $a$ и $b$.
2. Плоскость $\beta$, содержащая прямые $b$ и $c$.
3. Плоскость $\gamma$, содержащая прямые $a$ и $c$.
Поскольку прямые не лежат в одной плоскости, эти три плоскости будут различными. Такое расположение можно наглядно представить в виде трех параллельных боковых ребер треугольной призмы.

Следовательно, в зависимости от расположения прямых, они могут задавать либо одну плоскость, либо три плоскости.
Ответ: 1 или 3.

4.13. Сколько плоскостей задают четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости? Сделайте рисунок.

Согласно одной из аксиом стереометрии (а точнее, следствию из них), через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. В условии задачи даны четыре попарно параллельные прямые. Обозначим их как $l_1, l_2, l_3, l_4$. Условие "никакие три из которых не лежат в одной плоскости" гарантирует, что каждая пара прямых будет определять уникальную, не совпадающую с другими, плоскость.

Следовательно, чтобы найти общее количество плоскостей, нам нужно посчитать, сколько различных пар можно составить из четырех данных прямых. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число прямых $n=4$, а для задания одной плоскости мы выбираем пару прямых, то есть $k=2$. Подставим эти значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, четыре попарно параллельные прямые, для которых никакие три не лежат в одной плоскости, задают 6 различных плоскостей.

Рисунок:

В качестве наглядной модели можно рассмотреть четыре боковых ребра параллелепипеда. Они попарно параллельны, и никакие три из них не лежат в одной плоскости. Каждая пара таких ребер задает одну плоскость: либо боковую грань, либо диагональное сечение.

На рисунке прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ — это четыре параллельных боковых ребра. Пары этих прямых задают 6 плоскостей: 1) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_2$ (передняя грань); 2) плоскость, проходящая через $l_3$ и $l_4$ (задняя грань); 3) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_4$ (левая грань); 4) плоскость, проходящая через $l_2$ и $l_3$ (правая грань); 5) плоскость, проходящая через $l_1$ и $l_3$ (диагональное сечение); 6) плоскость, проходящая через $l_2$ и $l_4$ (другое диагональное сечение).

Ответ: 6 плоскостей.

4.14. Конец $A$ отрезка $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через точку $B$ и точку $C$, принадлежащую отрезку $AB$, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $CC_1 = 5$ см.

3) Найдите отрезок $CC_1$, если $AC : BC = 3 : 4$ и $BB_1 = 28$ см.

1) Докажите, что точки A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

По условию, через точки B и C проведены параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$. Две параллельные прямые в пространстве определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$.
Точки B и C принадлежат прямой AB, а также лежат в плоскости $\beta$ (так как $B \in BB_1$ и $C \in CC_1$). Следовательно, вся прямая AB, содержащая эти две точки, лежит в плоскости $\beta$.
Поскольку точка A принадлежит отрезку AB, она также принадлежит прямой AB, и, следовательно, точка A лежит в плоскости $\beta$.
Точки $B_1$ и $C_1$ являются точками пересечения прямых $BB_1$ и $CC_1$ с плоскостью $\alpha$. Значит, точки $B_1$ и $C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$.
Таким образом, точки A, $B_1$ и $C_1$ одновременно принадлежат двум плоскостям: плоскости $\alpha$ (по условию для A, по построению для $B_1$ и $C_1$) и плоскости $\beta$ (как мы доказали выше).
Линией пересечения двух различных плоскостей является прямая. Следовательно, все три точки A, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок BB₁, если точка C — середина отрезка AB и CC₁ = 5 см.

Рассмотрим плоскость $\beta$, в которой лежат треугольник $ABB_1$ и отрезок $CC_1$.
По условию $BB_1 \parallel CC_1$. Из пункта 1 мы знаем, что точки A, $C_1$, $B_1$ лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$.
Угол $\angle CAB$ (или $\angle C_1AB_1$) является общим для обоих треугольников.
Поскольку $CC_1 \parallel BB_1$, то соответственные углы при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB_1$ равны: $\angle AC_1C = \angle AB_1B$.
Следовательно, треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$
По условию, точка C — середина отрезка AB, значит $AC = \frac{1}{2}AB$, или $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$.
Нам известно, что $CC_1 = 5$ см. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{1}{2} = \frac{5}{BB_1}$
Отсюда находим $BB_1$:
$BB_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Также можно заметить, что $CC_1$ является средней линией треугольника $ABB_1$, так как $C$ — середина стороны $AB$ и $CC_1$ параллельна стороне $BB_1$. Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны.
$CC_1 = \frac{1}{2} BB_1 \implies BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

3) Найдите отрезок CC₁, если AC : BC = 3 : 4 и BB₁ = 28 см.

Аналогично пункту 2, используем подобие треугольников $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$, которое мы уже доказали.
Из подобия следует соотношение:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$
По условию дано отношение $AC : BC = 3 : 4$. Это означает, что отрезок $AB$ можно представить как сумму $AC$ и $BC$. Если принять $AC = 3x$, то $BC = 4x$, а $AB = AC + BC = 3x + 4x = 7x$.
Таким образом, отношение длины отрезка $AC$ к длине всего отрезка $AB$ равно:
$\frac{AC}{AB} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$
Нам известно, что $BB_1 = 28$ см. Подставим все известные значения в пропорцию:
$\frac{3}{7} = \frac{CC_1}{28}$
Выразим отсюда $CC_1$:
$CC_1 = \frac{3}{7} \cdot 28 = 3 \cdot \frac{28}{7} = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Ответ: 12 см.

4.15. Конец $C$ отрезка $CD$ принадлежит плоскости $\beta$. На отрезке $CD$ отмечена точка $E$ так, что $CE = 6$ см, $DE = 9$ см. Через точки $D$ и $E$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $D_1$ и $E_1$ соответственно. Найдите отрезок $DD_1$, если $EE_1 = 12$ см.

По условию задачи, конец $C$ отрезка $CD$ принадлежит плоскости $\beta$. Точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Через точки $D$ и $E$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$ в точках $D_1$ и $E_1$ соответственно. Это означает, что отрезки $DD_1$ и $EE_1$ параллельны ($DD_1 \parallel EE_1$).

Точки $C$, $E$ и $D$ лежат на одной прямой. Прямые $DD_1$ и $EE_1$ параллельны. Следовательно, все точки $C, D, E, D_1, E_1$ лежат в одной плоскости (назовем ее $\gamma$), которая пересекает плоскость $\beta$ по прямой $CD_1$. В плоскости $\gamma$ мы можем рассмотреть треугольники $\triangle CEE_1$ и $\triangle CDD_1$.

Эти треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия):
1. Угол при вершине $C$ ($\angle E_1CE$) является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку прямые $EE_1$ и $DD_1$ параллельны, а прямая $CD$ является секущей, то соответственные углы $\angle CEE_1$ и $\angle CDD_1$ равны.

Из подобия треугольников $\triangle CEE_1 \sim \triangle CDD_1$ следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{CE}{CD} = \frac{EE_1}{DD_1}$

Найдем длину отрезка $CD$. Так как точка $E$ лежит на отрезке $CD$, то его длина равна сумме длин отрезков $CE$ и $DE$:
$CD = CE + DE = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{6}{15} = \frac{12}{DD_1}$

Выразим искомую длину отрезка $DD_1$:
$DD_1 = \frac{15 \cdot 12}{6} = 15 \cdot 2 = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.

4.16. На отрезке $AB$, не пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC = 4$ см, $BC = 8$ см. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $A_1C_1$, если $B_1C_1 = 10$ см.

1) Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ однозначно определяют плоскость, назовем ее β. Поскольку точки A и B принадлежат этой плоскости, то и вся прямая AB, а значит и лежащая на ней точка C, также принадлежит плоскости β.
Прямая $CC_1$ проходит через точку C, принадлежащую плоскости β, и по условию параллельна прямой $AA_1$, которая также лежит в плоскости β. По свойству параллельных прямых и плоскостей, если прямая проходит через точку плоскости параллельно другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она сама целиком лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая $CC_1$ лежит в плоскости β.
Таким образом, все три параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ лежат в одной плоскости β.
Точки A₁, B₁ и C₁ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью α. Это означает, что все три точки A₁, B₁ и C₁ принадлежат одновременно и плоскости α, и плоскости β.
Линия пересечения двух различных плоскостей (в данном случае α и β) есть прямая. Следовательно, точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой, являющейся линией пересечения этих плоскостей.
Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок A₁C₁, если B₁C₁ = 10 см.
Рассмотрим две прямые AB и A₁B₁, которые пересекаются тремя параллельными прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две стороны угла (или просто две прямые), то они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Для нашего случая это означает, что отношение отрезков, отсекаемых на прямой AB, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на прямой A₁B₁:
$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $
Подставим в это соотношение известные из условия значения: $AC = 4$ см, $BC = 8$ см, $B_1C_1 = 10$ см.
$ \frac{4}{8} = \frac{A_1C_1}{10} $
Упростим левую часть дроби:
$ \frac{1}{2} = \frac{A_1C_1}{10} $
Теперь выразим и найдем $A_1C_1$:
$ A_1C_1 = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 $ см.
Ответ: 5 см.

4.17. Точка $C$ — середина отрезка $AB$, не пересекающего плоскость $\beta$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 18$ см, $CC_1 = 15$ см.

Поскольку прямые, проходящие через точки A, B и C, параллельны, они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость α'. Точки A, B, C лежат на одной прямой, так как C — середина отрезка AB. Следовательно, вся прямая AB также лежит в плоскости α'.

Плоскость α' пересекает плоскость β по некоторой прямой. Точки A₁, B₁ и C₁, в которых параллельные прямые пересекают плоскость β, лежат на этой линии пересечения. Таким образом, точки A₁, B₁ и C₁ также лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырех­угольник ABB₁A₁. В нем стороны AA₁ и BB₁ параллельны по условию (как отрезки параллельных прямых). Стороны AB и A₁B₁ в общем случае не параллельны. Следовательно, ABB₁A₁ — это трапеция, основаниями которой являются отрезки AA₁ и BB₁, а боковыми сторонами — AB и A₁B₁.

По условию, точка C является серединой отрезка (боковой стороны) AB. Прямая CC₁ проведена параллельно основаниям трапеции AA₁ и BB₁. Из этого следует, что отрезок CC₁ является средней линией трапеции ABB₁A₁.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Для трапеции ABB₁A₁ это можно записать в виде формулы:

$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения в эту формулу. Нам дано, что $BB_1 = 18$ см и $CC_1 = 15$ см. Обозначим искомую длину отрезка AA₁ через x.

$15 = \frac{x + 18}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно x:

$15 \cdot 2 = x + 18$

$30 = x + 18$

$x = 30 - 18$

$x = 12$

Таким образом, длина отрезка AA₁ равна 12 см.

Ответ: 12 см.

4.18. Прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной прямой (рис. 4.18). Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ — в точке $E$. Докажите, что прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся.

Рис. 4.18

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что прямые $ b $ и $ c $ не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны, и в обоих случаях лежат в одной плоскости. Назовем эту плоскость $ \beta $.

По условию, прямая $ b $ пересекает прямую $ a $ в точке $ D $, а прямая $ c $ пересекает прямую $ a $ в точке $ E $. Так как прямые $ b $ и $ c $ лежат в плоскости $ \beta $, то и все их точки, включая точки $ D $ и $ E $, принадлежат плоскости $ \beta $.

Поскольку две точки $ D $ и $ E $ прямой $ a $ лежат в плоскости $ \beta $, то вся прямая $ a $, проходящая через них, также лежит в плоскости $ \beta $. Таким образом, мы установили, что все три прямые $ a, b $ и $ c $ лежат в одной плоскости $ \beta $.

Из условия задачи известно, что прямые $ a, b, c $ пересекают плоскость $ \alpha $ в точках $ A, B, C $ соответственно. Это значит, что $ A \in a, B \in b, C \in c $. Так как прямые $ a, b, c $ лежат в плоскости $ \beta $, то и точки $ A, B, C $ также принадлежат плоскости $ \beta $.

При этом, по условию, точки $ A, B, C $ лежат в плоскости $ \alpha $ и не лежат на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поскольку точки $ A, B, C $ принадлежат обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $, эти плоскости должны совпадать: $ \alpha = \beta $.

Из совпадения плоскостей следует, что прямые $ a, b, c $, лежащие в плоскости $ \beta $, также лежат и в плоскости $ \alpha $. Это противоречит исходному условию, что прямые $ a, b, c $ пересекают плоскость $ \alpha $, то есть имеют с ней только по одной общей точке, а не лежат в ней.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $ b $ и $ c $ не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися.

Ответ: Доказано, что прямые $ b $ и $ c $ скрещивающиеся.

4.19. Известно, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся и прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

Нет, утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся, нельзя. Отношение «быть скрещивающимися» для прямых в пространстве не является транзитивным. Это означает, что из того, что прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, а прямая $b$ скрещивается с прямой $c$, не обязательно следует, что прямая $a$ скрещивается с прямой $c$. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпримеры.

Для наглядности воспользуемся моделью прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Случай 1: прямые a и c параллельны

Пусть прямая $a$ проходит через ребро $AB$, прямая $c$ — через ребро $DC$, а прямая $b$ — через ребро $A_1D_1$.

• Прямые $a \ (AB)$ и $b \ (A_1D_1)$ являются скрещивающимися. Они лежат в параллельных плоскостях оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ и не параллельны друг другу.
• Прямые $b \ (A_1D_1)$ и $c \ (DC)$ также являются скрещивающимися. Они лежат в тех же параллельных плоскостях оснований и не параллельны друг другу.
• Однако прямые $a \ (AB)$ и $c \ (DC)$ параллельны, так как являются противоположными сторонами прямоугольника $ABCD$. Следовательно, они не являются скрещивающимися.

В этом случае условия ($a$ и $b$ скрещиваются, $b$ и $c$ скрещиваются) выполнены, а заключение ($a$ и $c$ скрещиваются) — нет.

Случай 2: прямые a и c пересекаются

Пусть прямая $a$ проходит через ребро $AB$, прямая $c$ — через ребро $AD$, а прямая $b$ — через диагональ верхней грани $B_1D_1$.

• Прямые $a \ (AB)$ и $b \ (B_1D_1)$ являются скрещивающимися. Они лежат в параллельных плоскостях оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ и не параллельны.
• Прямые $c \ (AD)$ и $b \ (B_1D_1)$ также являются скрещивающимися по той же причине.
• Однако прямые $a \ (AB)$ и $c \ (AD)$ пересекаются в вершине $A$. Следовательно, они не являются скрещивающимися.

Этот случай также показывает, что из заданных условий не следует, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются.

Ответ: Нет, нельзя.

4.20. Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?

Нет, данное утверждение неверно для прямых в пространстве.

В планиметрии (геометрии на плоскости) любые две несовпадающие прямые либо пересекаются, либо параллельны. Поэтому если прямая $c$ пересекает одну из параллельных прямых ($a$), то она не может быть параллельна второй прямой ($b$), так как все три прямые ($a, b, c$) лежат в одной плоскости. Следовательно, прямая $c$ обязательно пересечет и прямую $b$.

В стереометрии (геометрии в пространстве) у двух прямых существует третье возможное взаимное расположение — они могут быть скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны. Именно этот случай служит контрпримером к данному утверждению.

Рассмотрим контрпример в декартовой системе координат:
1. Пусть прямая $a$ совпадает с осью абсцисс $Ox$.
2. Пусть прямая $b$ параллельна прямой $a$ и проходит через точку с координатами $(0, 1, 0)$. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $Oxy$ и параллельны ($a \parallel b$).
3. Пусть прямая $c$ совпадает с осью аппликат $Oz$.

В этом случае прямая $c$ (ось $Oz$) пересекает прямую $a$ (ось $Ox$) в начале координат, в точке $(0, 0, 0)$. Однако прямая $c$ не пересекает прямую $b$. У любой точки на прямой $c$ координаты $x$ и $y$ равны нулю, в то время как у любой точки на прямой $b$ координата $y$ равна 1. Таким образом, у прямых $b$ и $c$ нет общих точек. При этом они не параллельны, а значит, являются скрещивающимися.

Мы привели пример, в котором прямая $c$ пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), но не пересекает другую ($b$). Это доказывает, что исходное утверждение для прямых в пространстве неверно.

Ответ: нет, не верно.