Страница 71 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

6.46. Сумма диагоналей ромба равна 14 см, а его площадь — $24 \text{ см}^2$. Найдите сторону ромба.

Обозначим диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, а его сторону как $a$.

По условию задачи, сумма диагоналей равна 14 см, а площадь $S$ равна 24 см².

Запишем известные данные в виде уравнений:

1. Сумма диагоналей: $d_1 + d_2 = 14$.
2. Площадь ромба вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставив известное значение площади, получаем: $24 = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Из второго уравнения найдем произведение диагоналей:

$d_1 d_2 = 24 \times 2 = 48$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} d_1 + d_2 = 14 \\ d_1 d_2 = 48 \end{cases}$

Данную систему можно решить по теореме, обратной теореме Виета. $d_1$ и $d_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 14x + 48 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.

$x_1 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = 8$.

Таким образом, длины диагоналей ромба равны 6 см и 8 см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, где катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — сторона ромба $a$.

Найдем длины катетов:

$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см

$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см

Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ромба $a$:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

6.47. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) медиана $AM$ пересекает высоту $CD$ в точке $K$. Найдите отношение $CK : KD$, если $\angle BAC = 60^\circ$.

Рассмотрим данный прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle BAC = 60^\circ$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то третий угол $\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Для удобства вычислений введем обозначение для длины катета $AC$. Пусть $AC = b$. Тогда из тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$ можно выразить длину гипотенузы $AB$:$AB = \frac{AC}{\cos(\angle BAC)} = \frac{b}{\cos(60^\circ)} = \frac{b}{1/2} = 2b$.

Поскольку $CD$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$, то $\triangle ADC$ также является прямоугольным ($\angle CDA = 90^\circ$). В этом треугольнике известен угол $\angle DAC = 60^\circ$ и гипотенуза $AC = b$. Найдем длину катета $AD$:$AD = AC \cdot \cos(\angle DAC) = b \cdot \cos(60^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{b}{2}$.

Теперь мы можем найти отношение длин отрезков $BA$ и $AD$, которое понадобится нам в дальнейшем:$\frac{BA}{AD} = \frac{2b}{b/2} = 4$.

Для нахождения искомого отношения $CK:KD$ воспользуемся теоремой Менелая. Рассмотрим треугольник $CDB$ и прямую $AM$ в качестве секущей. Эта прямая пересекает сторону $CD$ в точке $K$, сторону $CB$ в точке $M$ и продолжение стороны $DB$ в точке $A$.

По теореме Менелая для $\triangle CDB$ и секущей $AMK$ справедливо следующее соотношение:$\frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AD} \cdot \frac{DK}{KC} = 1$.

Найдем значения отношений в этой формуле. По условию, $AM$ — медиана, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$, откуда $CM = MB$ и $\frac{CM}{MB} = 1$. Отношение $\frac{BA}{AD}$ мы уже вычислили, оно равно 4.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:$1 \cdot 4 \cdot \frac{DK}{KC} = 1$.

Из этого уравнения выразим отношение $\frac{DK}{KC}$:$4 \cdot \frac{DK}{KC} = 1 \implies \frac{DK}{KC} = \frac{1}{4}$.

Искомое отношение $CK:KD$ является обратным к найденному:$\frac{CK}{KD} = \frac{1}{DK/KC} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Таким образом, отношение $CK:KD$ равно $4:1$.

Ответ: $4:1$.