Страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.48. Точка $E$ — середина ребра $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $A_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D и осями, направленными вдоль ребер DA (ось Ox), DC (ось Oy) и DD₁ (ось Oz).

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты необходимых нам точек будут следующими:

• Координаты точки A: $(a, 0, 0)$
• Координаты точки B₁: $(a, a, a)$
• Координаты точки A₁: $(a, 0, a)$
• Координаты точки D₁: $(0, 0, a)$

Точка E является серединой ребра DD₁. Ее координаты равны полусумме координат точек D(0, 0, 0) и D₁(0, 0, a):

E = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = (0, 0, \frac{a}{2})$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых AB₁ и A₁E.

Для прямой AB₁ возьмем вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = (a-a; a-0; a-0) = (0, a, a)$

Для прямой A₁E возьмем вектор $\vec{v_2} = \vec{A_1E}$:

$\vec{A_1E} = (0-a; 0-0; \frac{a}{2}-a) = (-a, 0, -\frac{a}{2})$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot (-a) + a \cdot 0 + a \cdot (-\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2}$

2. Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{|-\frac{a^2}{2}|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$

10.49. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно $2$ см. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол между прямыми $SM$ и $SK$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SM и CK воспользуемся методом координат. Для этого введем прямоугольную систему координат.

1. Построение системы координат и определение координат точек.
Поместим начало координат в точку C. Направим ось Oz вдоль ребра SC, так как SC перпендикулярно плоскости основания. Направим ось Ox вдоль луча CB. Тогда плоскость Oxy будет совпадать с плоскостью основания ABC.
В данной системе координат:

• Точка C, как начало координат, имеет координаты C(0; 0; 0).
• Так как ребро SC перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2, координаты точки S будут S(0; 0; 2).
• Точка B лежит на оси Ox, а длина стороны основания $BC = 4\sqrt{2}$. Следовательно, координаты точки B: B($4\sqrt{2}$; 0; 0).
• Точка A лежит в плоскости Oxy. Обозначим ее координаты как A(x; y; 0). Поскольку треугольник ABC равносторонний, то $AC = AB = 4\sqrt{2}$. Составим систему уравнений, используя формулу расстояния между двумя точками:
  $AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2+y^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
  $AB^2 = (x-4\sqrt{2})^2 + (y-0)^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
  Раскроем второе уравнение: $x^2 - 8\sqrt{2}x + 32 + y^2 = 32$.
  Подставим $x^2 + y^2 = 32$ в это уравнение: $32 - 8\sqrt{2}x + 32 = 32$, что упрощается до $32 - 8\sqrt{2}x = 0$.
  Отсюда находим x: $x = \frac{32}{8\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
  Теперь найдем y: $y^2 = 32 - x^2 = 32 - (2\sqrt{2})^2 = 32 - 8 = 24$. Выбираем положительное значение для y (это не влияет на общность решения): $y = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
  Таким образом, координаты точки A: A($2\sqrt{2}$; $2\sqrt{6}$; 0).
• Точка M — середина ребра BC. Ее координаты:
  $M\left(\frac{0+4\sqrt{2}}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (2\sqrt{2}; 0; 0)$
• Точка K — середина ребра AB. Ее координаты:
  $K\left(\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}; \frac{2\sqrt{6}+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0)$

2. Нахождение векторов и угла между ними.
Теперь определим координаты векторов $\vec{SM}$ и $\vec{CK}$:
$\vec{SM} = \{M_x - S_x; M_y - S_y; M_z - S_z\} = \{2\sqrt{2} - 0; 0 - 0; 0 - 2\} = \{2\sqrt{2}; 0; -2\}$
$\vec{CK} = \{K_x - C_x; K_y - C_y; K_z - C_z\} = \{3\sqrt{2} - 0; \sqrt{6} - 0; 0 - 0\} = \{3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0\}$

Угол $\alpha$ между прямыми SM и CK найдем как угол между соответствующими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{SM} \cdot \vec{CK}|}{|\vec{SM}| \cdot |\vec{CK}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{SM} \cdot \vec{CK} = (2\sqrt{2})(3\sqrt{2}) + (0)(\sqrt{6}) + (-2)(0) = 6 \cdot 2 = 12$

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{SM}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$|\vec{CK}| = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{18 + 6} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{4\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$

10.50. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости $ABC$. Грань $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты $AC$ и $BC$ которого равны 4 см. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол между прямыми $DM$ и $CN$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $DM$ и $CN$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Так как грань $ABC$ — это прямоугольный треугольник с катетами $AC$ и $BC$ (то есть с прямым углом при вершине $C$), а ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, удобно направить оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ по лучу $CA$, ось $Oy$ по лучу $CB$ и ось $Oz$ по лучу $CD$.

В этой системе координат, исходя из данных в условии ($AC=4$ см, $BC=4$ см, $DC=2$ см), вершины тетраэдра имеют следующие координаты:

• $C(0; 0; 0)$
• $A(4; 0; 0)$
• $B(0; 4; 0)$
• $D(0; 0; 2)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$. Точка $M$ — середина ребра $AC$, поэтому ее координаты являются полусуммой координат точек $A$ и $C$:$M(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2})$, то есть $M(2; 0; 0)$.Точка $N$ — середина ребра $AB$, ее координаты являются полусуммой координат $A$ и $B$:$N(\frac{4+0}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2})$, то есть $N(2; 2; 0)$.

Теперь определим координаты направляющих векторов для прямых $DM$ и $CN$.Для прямой $DM$ направляющим вектором является $\vec{DM}$, координаты которого равны разности координат точек $M$ и $D$:$\vec{DM} = (2-0; 0-0; 0-2) = (2; 0; -2)$.Для прямой $CN$ направляющим вектором является $\vec{CN}$, с координатами, равными разности координат точек $N$ и $C$:$\vec{CN} = (2-0; 2-0; 0-0) = (2; 2; 0)$.

Угол $\alpha$ между прямыми $DM$ и $CN$ равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{DM} \cdot \vec{CN}|}{|\vec{DM}| \cdot |\vec{CN}|}$

Вычислим необходимые значения для формулы.

Скалярное произведение векторов:$\vec{DM} \cdot \vec{CN} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 4$.

Длины (модули) векторов:$|\vec{DM}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.$|\vec{CN}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos\alpha = \frac{|4|}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Из полученного значения косинуса находим сам угол $\alpha$:$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

10.51. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$), в которой $AD = 10$ см, $BC = 5$ см, $AB = 3$ см, $CD = 4$ см.

Ребро $SD$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8 см.

Точка $M$ — середина ребра $AS$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $CD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ и перпендикулярна прямой $ CD $, то есть $ \alpha \perp CD $.

2. Для определения ориентации плоскости $ \alpha $ найдем две непараллельные прямые, перпендикулярные $ CD $.

3. Рассмотрим основание пирамиды — трапецию $ ABCD $. Проведем из вершины $ C $ прямую, параллельную стороне $ AB $, до пересечения с основанием $ AD $ в точке $ E $. Так как $ BC \parallel AD $ и $ CE \parallel AB $, четырехугольник $ ABCE $ — параллелограмм. Отсюда следует, что $ CE = AB = 3 $ см и $ AE = BC = 5 $ см.

4. Длина отрезка $ ED $ на основании $ AD $ будет равна $ ED = AD - AE = 10 - 5 = 5 $ см.

5. В треугольнике $ CED $ известны все три стороны: $ CE = 3 $ см, $ CD = 4 $ см, $ ED = 5 $ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: $ CE^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $. Так как $ ED^2 = 5^2 = 25 $, то $ CE^2 + CD^2 = ED^2 $. Это означает, что треугольник $ CED $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $ C $, то есть $ CE \perp CD $.

6. Поскольку по построению $ CE \parallel AB $, то из $ CE \perp CD $ следует, что $ AB \perp CD $.

7. По условию, ребро $ SD $ перпендикулярно плоскости основания $ (ABCD) $. Следовательно, $ SD $ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая прямую $ CD $. Таким образом, $ SD \perp CD $.

8. Мы установили, что прямая $ CD $ перпендикулярна двум скрещивающимся прямым: $ AB $ и $ SD $. Плоскость, перпендикулярная прямой, параллельна любым двум непараллельным прямым, перпендикулярным данной прямой. Следовательно, искомая плоскость сечения $ \alpha $ параллельна прямым $ AB $ и $ SD $.

9. Теперь построим сечение, проходящее через точку $ M $ (середину $ AS $) и параллельное $ AB $ и $ SD $:

• В плоскости грани $ (SAD) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную $ SD $. Она пересечет ребро $ AD $ в точке $ P $. Так как $ M $ — середина $ AS $ и $ MP \parallel SD $, то по теореме Фалеса точка $ P $ является серединой ребра $ AD $.
• В плоскости грани $ (SAB) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную $ AB $. Она пересечет ребро $ SB $ в точке $ N $. Так как $ M $ — середина $ AS $ и $ MN \parallel AB $, то точка $ N $ является серединой ребра $ SB $.
• В плоскости основания $ (ABCD) $ проведем через точку $ P $ прямую, параллельную $ AB $. Точка $ P $ — середина $ AD $, поэтому $ AP = AD/2 = 10/2 = 5 $ см. Ранее мы нашли точку $ E $ на $ AD $ такую, что $ AE=5 $ см и $ CE \parallel AB $. Следовательно, точки $ P $ и $ E $ совпадают. Таким образом, прямая, проходящая через $ P $ параллельно $ AB $, есть прямая $ PC $. Эта прямая пересекает ребра основания $ AD $ и $ CD $ (в вершине $ C $).

Соединив последовательно точки $ P, M, N, C $, получаем искомое сечение — четырехугольник $ PMNC $.

Нахождение площади сечения

1. Определим вид четырехугольника $ PMNC $. По построению $ MN \parallel AB $ и $ PC \parallel AB $. Следовательно, $ MN \parallel PC $, что означает, что $ PMNC $ — трапеция с основаниями $ MN $ и $ PC $.

2. Найдем длины оснований трапеции. $ MN $ — средняя линия треугольника $ ASB $, поэтому $ MN = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2} = 1.5 $ см. Длина отрезка $ PC $ равна длине $ CE $ (поскольку $ P \equiv E $), а $ CE=AB $. Значит, $ PC = AB = 3 $ см.

3. Определим высоту трапеции. Рассмотрим боковую сторону $ PM $. По построению $ PM \parallel SD $. Как мы установили, $ SD \perp AB $. Так как $ PM \parallel SD $ и $ PC \parallel AB $, то угол между прямыми $ PM $ и $ PC $ равен углу между прямыми $ SD $ и $ AB $, то есть $ 90^\circ $. Следовательно, $ PM \perp PC $. Это доказывает, что трапеция $ PMNC $ — прямоугольная, а ее высота — это сторона $ PM $.

4. Найдем длину высоты $ PM $. $ PM $ — средняя линия треугольника $ SAD $, поэтому $ PM = \frac{1}{2}SD = \frac{8}{2} = 4 $ см.

5. Вычислим площадь прямоугольной трапеции $ PMNC $ по формуле: $ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $, где $ a, b $ — основания, $ h $ — высота. $ S_{PMNC} = \frac{MN + PC}{2} \cdot PM = \frac{1.5 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{4.5}{2} \cdot 4 = 4.5 \cdot 2 = 9 $ см².

Ответ: 9 см².

10.52. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ $(BC \parallel AD)$, в которой $AB = BC = CD = 1$ см, $AD = 2$ см. Ребро $SD$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка $M$ — середина ребра $AS$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AC$. Найдите площадь этого сечения.

Для начала проанализируем основание пирамиды — трапецию $ABCD$. Так как $AB=BC=CD=1$ см, трапеция является равнобокой. Опустим высоты $BH_1$ и $CH_2$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $BCH_2H_1$, поэтому $H_1H_2 = BC = 1$ см. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AH_1$ и $H_2D$ равны: $AH_1 = H_2D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2-1}{2} = 0.5$ см. Найдем высоту трапеции $h = CH_2$ из прямоугольного треугольника $CH_2D$: $h = CH_2 = \sqrt{CD^2 - H_2D^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ACH_2$, в котором $AH_2 = AD - H_2D = 2 - 0.5 = 1.5$ см. $AC^2 = AH_2^2 + CH_2^2 = (1.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2.25 + 0.75 = 3$. Следовательно, $AC = \sqrt{3}$ см.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой АС.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, $M \in \alpha$ и $\alpha \perp AC$. Так как ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то $SD \perp AC$. Рассмотрим $\triangle SAD$. Он прямоугольный, так как $SD \perp AD$. Точка $M$ — середина гипотенузы $AS$. Спроектируем точку $M$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как $SD \perp (ABC)$, то проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AD$. Проекция $M$ — точки $N$ — будет серединой отрезка $AD$. Таким образом, точка $N$ — середина $AD$.

Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Так как секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$ ($\alpha \perp AC$), то $\alpha$ перпендикулярна любой плоскости, содержащей $AC$, в частности, плоскости основания $(ABC)$, если вектор нормали к $\alpha$ лежит в $(ABC)$. Вектор нормали к $\alpha$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$, который лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Так как $\alpha \perp (ABC)$ и $M \in \alpha$, а $N$ — проекция $M$ на $(ABC)$, то прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ и лежит в плоскости $\alpha$. Пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точку $N$ и перпендикулярная $AC$. Обозначим эту прямую $l$.

Найдем положение прямой $l$ в трапеции $ABCD$. Введем систему координат в плоскости основания: $D$ — начало координат $(0,0)$, ось $x$ направим вдоль $DA$. Тогда $A(2,0)$. Так как $H_2D=0.5$ и $CH_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Точка $N$ — середина $AD$, ее координаты $N(1,0)$. Координаты точки $B$: $B(AD - AH_1, BH_1) = B(2 - 0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}) = B(1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(0.5-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0) = (-1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Проверим, проходит ли прямая $l$, проведенная через $N(1,0)$ перпендикулярно $AC$, через точку $B$. Вектор $\vec{NB}$ имеет координаты $(1.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{NB}$: $\vec{AC} \cdot \vec{NB} = (-1.5) \cdot 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.75 + \frac{3}{4} = -0.75 + 0.75 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит прямая $NB$ перпендикулярна $AC$. Следовательно, прямая $l$ — это прямая $NB$.

Итак, линия пересечения секущей плоскости с основанием пирамиды — это отрезок $NB$. Так как плоскость сечения $\alpha$ проходит через прямую $MN$ и отрезок $NB$, то она содержит точки $M, N, B$. Вершинами сечения являются точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами пирамиды.

• Плоскость пересекает ребро $AD$ в точке $N$.
• Плоскость пересекает ребро $AB$ в точке $B$.
• Плоскость пересекает ребро $SA$ в точке $M$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MBN$.

Ответ: Сечением является треугольник $MBN$, где $N$ — середина ребра $AD$.

Найдите площадь этого сечения.

Сечением является треугольник $MBN$. Так как $N$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $(ABC)$, то отрезок $MN$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Поскольку отрезок $NB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $MN \perp NB$. Следовательно, треугольник $MBN$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $N$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NB$.

Найдем длины катетов $MN$ и $NB$. 1. В прямоугольном треугольнике $SAD$ ($SD \perp AD$) точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AS$ и $AD$ соответственно. Значит, $MN$ — средняя линия треугольника $SAD$. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны $SD$. $MN = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

2. Длину катета $NB$ найдем в плоскости основания. Используем ранее введенные координаты: $N(1,0)$ и $B(1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. $NB = \sqrt{(1.5-1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = \sqrt{1} = 1$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см².

Ответ: $1$ см².

10.53. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Согласно условию, его катеты равны 3 см и 4 см. Пусть больший катет $AC = 4$ см, а меньший катет $BC = 3$ см.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, который по условию лежит на гипотенузе $AB$. Обозначим радиус окружности как $R$.

Из условия задачи известно, что окружность касается большего катета $AC$. Пусть $D$ — точка касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OD \perp AC$, и длина этого радиуса $OD = R$.

Также по условию окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего большему катету $AC$. Этой вершиной является точка $B$. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до точки $B$ равно радиусу, то есть $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $ADO$. Так как $OD \perp AC$, то $\angle ADO = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ADO$ является прямоугольным. Этот треугольник подобен исходному треугольнику $ABC$, поскольку у них есть общий острый угол $A$ и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников ($ \triangle ADO \sim \triangle ABC $) следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{OD}{BC} = \frac{AO}{AB}$

Мы знаем следующие величины: $OD = R$, $BC = 3$ см, $AB = 5$ см. Точка $O$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длину отрезка $AO$ можно выразить через $AB$ и $OB$: $AO = AB - OB$. Так как $OB = R$, получаем $AO = 5 - R$.

Теперь подставим все известные и выраженные значения в уравнение пропорции:$\frac{R}{3} = \frac{5 - R}{5}$

Решим полученное уравнение относительно $R$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$5 \cdot R = 3 \cdot (5 - R)$$5R = 15 - 3R$$5R + 3R = 15$$8R = 15$$R = \frac{15}{8}$ см.

Ответ: $\frac{15}{8}$ см.

10.54. Биссектриса тупого угла $ABC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) пересекает основание $AD$ в точке $E$. Известно, что $BE \perp AC$, а четырёхугольник $BCDE$ — параллелограмм. Найдите:

1) основание $BC$ трапеции, если её периметр равен 40 см;

2) углы трапеции.

1)

Пусть $ABCD$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, $AB = CD$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции), а $BE$ является секущей, то углы $\angle CBE$ и $\angle AEB$ равны как накрест лежащие.

По условию, $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$, следовательно, $\angle ABE = \angle CBE$.

Из двух приведенных выше равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $\triangle ABE$ является равнобедренным, и $AB = AE$.

По условию, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм. Из этого следует, что его противоположные стороны равны: $BE = CD$ и $BC = ED$.

Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), а из свойств параллелограмма $BE = CD$, то получаем, что $AB = BE$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ABE$ все стороны равны: $AB = AE = BE$. Следовательно, $\triangle ABE$ — равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$ и, по условию, $BE \perp AC$, то в треугольнике $\triangle ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$, является одновременно и высотой. Треугольник, обладающий таким свойством, является равнобедренным, откуда следует, что $AB = BC$.

Обозначим длину боковой стороны $AB$ через $x$. Тогда, исходя из наших выводов: $AB = x$. Так как $AB = BC$, то $BC = x$. Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = x$. Так как $\triangle ABE$ равносторонний, $AE = AB = x$. Так как $BCDE$ — параллелограмм, $ED = BC = x$. Большее основание $AD$ равно сумме отрезков $AE$ и $ED$, то есть $AD = AE + ED = x + x = 2x$.

Периметр трапеции $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = x + x + x + 2x = 5x$.

По условию задачи, периметр равен 40 см, поэтому: $5x = 40$ см $x = 8$ см

Длина основания $BC$ равна $x$.

Ответ: основание $BC$ равно 8 см.

2)

Как было установлено в решении первого пункта, треугольник $\triangle ABE$ является равносторонним. Это означает, что все его внутренние углы равны $60^\circ$.

Угол $\angle BAD$ трапеции совпадает с углом $\angle BAE$ равностороннего треугольника, следовательно, $\angle BAD = 60^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, углы при основаниях равны. Значит, $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Отсюда находим тупые углы трапеции: $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, $\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.