Номер 10.51, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.51. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$), в которой $AD = 10$ см, $BC = 5$ см, $AB = 3$ см, $CD = 4$ см.

Ребро $SD$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 8 см.

Точка $M$ — середина ребра $AS$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $CD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ и перпендикулярна прямой $ CD $, то есть $ \alpha \perp CD $.

2. Для определения ориентации плоскости $ \alpha $ найдем две непараллельные прямые, перпендикулярные $ CD $.

3. Рассмотрим основание пирамиды — трапецию $ ABCD $. Проведем из вершины $ C $ прямую, параллельную стороне $ AB $, до пересечения с основанием $ AD $ в точке $ E $. Так как $ BC \parallel AD $ и $ CE \parallel AB $, четырехугольник $ ABCE $ — параллелограмм. Отсюда следует, что $ CE = AB = 3 $ см и $ AE = BC = 5 $ см.

4. Длина отрезка $ ED $ на основании $ AD $ будет равна $ ED = AD - AE = 10 - 5 = 5 $ см.

5. В треугольнике $ CED $ известны все три стороны: $ CE = 3 $ см, $ CD = 4 $ см, $ ED = 5 $ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: $ CE^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $. Так как $ ED^2 = 5^2 = 25 $, то $ CE^2 + CD^2 = ED^2 $. Это означает, что треугольник $ CED $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $ C $, то есть $ CE \perp CD $.

6. Поскольку по построению $ CE \parallel AB $, то из $ CE \perp CD $ следует, что $ AB \perp CD $.

7. По условию, ребро $ SD $ перпендикулярно плоскости основания $ (ABCD) $. Следовательно, $ SD $ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая прямую $ CD $. Таким образом, $ SD \perp CD $.

8. Мы установили, что прямая $ CD $ перпендикулярна двум скрещивающимся прямым: $ AB $ и $ SD $. Плоскость, перпендикулярная прямой, параллельна любым двум непараллельным прямым, перпендикулярным данной прямой. Следовательно, искомая плоскость сечения $ \alpha $ параллельна прямым $ AB $ и $ SD $.

9. Теперь построим сечение, проходящее через точку $ M $ (середину $ AS $) и параллельное $ AB $ и $ SD $:

• В плоскости грани $ (SAD) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную $ SD $. Она пересечет ребро $ AD $ в точке $ P $. Так как $ M $ — середина $ AS $ и $ MP \parallel SD $, то по теореме Фалеса точка $ P $ является серединой ребра $ AD $.
• В плоскости грани $ (SAB) $ проведем через точку $ M $ прямую, параллельную $ AB $. Она пересечет ребро $ SB $ в точке $ N $. Так как $ M $ — середина $ AS $ и $ MN \parallel AB $, то точка $ N $ является серединой ребра $ SB $.
• В плоскости основания $ (ABCD) $ проведем через точку $ P $ прямую, параллельную $ AB $. Точка $ P $ — середина $ AD $, поэтому $ AP = AD/2 = 10/2 = 5 $ см. Ранее мы нашли точку $ E $ на $ AD $ такую, что $ AE=5 $ см и $ CE \parallel AB $. Следовательно, точки $ P $ и $ E $ совпадают. Таким образом, прямая, проходящая через $ P $ параллельно $ AB $, есть прямая $ PC $. Эта прямая пересекает ребра основания $ AD $ и $ CD $ (в вершине $ C $).

Соединив последовательно точки $ P, M, N, C $, получаем искомое сечение — четырехугольник $ PMNC $.

Нахождение площади сечения

1. Определим вид четырехугольника $ PMNC $. По построению $ MN \parallel AB $ и $ PC \parallel AB $. Следовательно, $ MN \parallel PC $, что означает, что $ PMNC $ — трапеция с основаниями $ MN $ и $ PC $.

2. Найдем длины оснований трапеции. $ MN $ — средняя линия треугольника $ ASB $, поэтому $ MN = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2} = 1.5 $ см. Длина отрезка $ PC $ равна длине $ CE $ (поскольку $ P \equiv E $), а $ CE=AB $. Значит, $ PC = AB = 3 $ см.

3. Определим высоту трапеции. Рассмотрим боковую сторону $ PM $. По построению $ PM \parallel SD $. Как мы установили, $ SD \perp AB $. Так как $ PM \parallel SD $ и $ PC \parallel AB $, то угол между прямыми $ PM $ и $ PC $ равен углу между прямыми $ SD $ и $ AB $, то есть $ 90^\circ $. Следовательно, $ PM \perp PC $. Это доказывает, что трапеция $ PMNC $ — прямоугольная, а ее высота — это сторона $ PM $.

4. Найдем длину высоты $ PM $. $ PM $ — средняя линия треугольника $ SAD $, поэтому $ PM = \frac{1}{2}SD = \frac{8}{2} = 4 $ см.

5. Вычислим площадь прямоугольной трапеции $ PMNC $ по формуле: $ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $, где $ a, b $ — основания, $ h $ — высота. $ S_{PMNC} = \frac{MN + PC}{2} \cdot PM = \frac{1.5 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{4.5}{2} \cdot 4 = 4.5 \cdot 2 = 9 $ см².

Ответ: 9 см².