Вопросы, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. В каком случае говорят, что фигура $F_1$ является ортогональной проекцией фигуры $F$?

2. Опишите, какой отрезок называют: 1) перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость; 2) наклонной, проведённой из точки к плоскости.

3. Сформулируйте теорему о перпендикуляре и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки.

4. Что называют расстоянием от точки до плоскости?

5. Что называют расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости?

6. Что называют расстоянием между двумя параллельными плоскостями?

7. Что называют расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми?

8. Что называют общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых?

1. Фигура $F_1$ является ортогональной проекцией фигуры $F$ на плоскость $\alpha$, если она представляет собой множество проекций всех точек фигуры $F$ на эту плоскость. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости. Таким образом, чтобы получить ортогональную проекцию фигуры, из каждой её точки опускают перпендикуляр на плоскость проекции, и совокупность оснований этих перпендикуляров и образует искомую фигуру $F_1$.
Ответ:

2. Пусть дана точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$.
1) Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называют отрезок $AH$, где $H$ — точка в плоскости $\alpha$, такой, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
2) Наклонной, проведённой из точки к плоскости, называют любой отрезок $AM$, соединяющий данную точку $A$ с точкой $M$ в плоскости $\alpha$, причём точка $M$ не совпадает с основанием перпендикуляра $H$. Точка $M$ называется основанием наклонной. Отрезок $HM$ называется проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$.
Ответ:

3. Теорема о перпендикуляре и наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, утверждает следующее:

• Любая наклонная, проведённая из точки к плоскости, длиннее перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же плоскости.
• Если две наклонные, проведённые из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции.
• Если проекции двух наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, равны, то равны и сами наклонные.
• Из двух наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, больше та, у которой проекция больше.

Эти свойства следуют из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром, наклонной и её проекцией: $AM^2 = AH^2 + HM^2$, где $AM$ — наклонная, $AH$ — перпендикуляр, $HM$ — проекция.
Ответ:

4. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от неё до плоскости считается равным нулю.
Ответ:

5. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называют расстояние от любой точки этой прямой до данной плоскости. Поскольку все точки прямой, параллельной плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от неё, выбор точки не имеет значения.
Ответ:

6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной плоскости на другую.
Ответ:

7. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Это также является наименьшим возможным расстоянием между точками, одна из которых лежит на первой прямой, а другая — на второй.
Ответ:

8. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, который перпендикулярен обеим этим прямым и концы которого лежат на этих прямых. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.
Ответ: