Номер 10.50, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.50. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости $ABC$. Грань $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты $AC$ и $BC$ которого равны 4 см. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол между прямыми $DM$ и $CN$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $DM$ и $CN$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Так как грань $ABC$ — это прямоугольный треугольник с катетами $AC$ и $BC$ (то есть с прямым углом при вершине $C$), а ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, удобно направить оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ по лучу $CA$, ось $Oy$ по лучу $CB$ и ось $Oz$ по лучу $CD$.

В этой системе координат, исходя из данных в условии ($AC=4$ см, $BC=4$ см, $DC=2$ см), вершины тетраэдра имеют следующие координаты:

• $C(0; 0; 0)$
• $A(4; 0; 0)$
• $B(0; 4; 0)$
• $D(0; 0; 2)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$. Точка $M$ — середина ребра $AC$, поэтому ее координаты являются полусуммой координат точек $A$ и $C$:$M(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2})$, то есть $M(2; 0; 0)$.Точка $N$ — середина ребра $AB$, ее координаты являются полусуммой координат $A$ и $B$:$N(\frac{4+0}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2})$, то есть $N(2; 2; 0)$.

Теперь определим координаты направляющих векторов для прямых $DM$ и $CN$.Для прямой $DM$ направляющим вектором является $\vec{DM}$, координаты которого равны разности координат точек $M$ и $D$:$\vec{DM} = (2-0; 0-0; 0-2) = (2; 0; -2)$.Для прямой $CN$ направляющим вектором является $\vec{CN}$, с координатами, равными разности координат точек $N$ и $C$:$\vec{CN} = (2-0; 2-0; 0-0) = (2; 2; 0)$.

Угол $\alpha$ между прямыми $DM$ и $CN$ равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{DM} \cdot \vec{CN}|}{|\vec{DM}| \cdot |\vec{CN}|}$

Вычислим необходимые значения для формулы.

Скалярное произведение векторов:$\vec{DM} \cdot \vec{CN} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 4$.

Длины (модули) векторов:$|\vec{DM}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.$|\vec{CN}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos\alpha = \frac{|4|}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Из полученного значения косинуса находим сам угол $\alpha$:$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.