Номер 10.54, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.54. Биссектриса тупого угла $ABC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) пересекает основание $AD$ в точке $E$. Известно, что $BE \perp AC$, а четырёхугольник $BCDE$ — параллелограмм. Найдите:

1) основание $BC$ трапеции, если её периметр равен 40 см;

2) углы трапеции.

1)

Пусть $ABCD$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию, $AB = CD$.

Поскольку $BC \parallel AD$ (основания трапеции), а $BE$ является секущей, то углы $\angle CBE$ и $\angle AEB$ равны как накрест лежащие.

По условию, $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$, следовательно, $\angle ABE = \angle CBE$.

Из двух приведенных выше равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $\triangle ABE$ является равнобедренным, и $AB = AE$.

По условию, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм. Из этого следует, что его противоположные стороны равны: $BE = CD$ и $BC = ED$.

Так как трапеция равнобокая ($AB = CD$), а из свойств параллелограмма $BE = CD$, то получаем, что $AB = BE$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ABE$ все стороны равны: $AB = AE = BE$. Следовательно, $\triangle ABE$ — равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$ и, по условию, $BE \perp AC$, то в треугольнике $\triangle ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$, является одновременно и высотой. Треугольник, обладающий таким свойством, является равнобедренным, откуда следует, что $AB = BC$.

Обозначим длину боковой стороны $AB$ через $x$. Тогда, исходя из наших выводов: $AB = x$. Так как $AB = BC$, то $BC = x$. Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = x$. Так как $\triangle ABE$ равносторонний, $AE = AB = x$. Так как $BCDE$ — параллелограмм, $ED = BC = x$. Большее основание $AD$ равно сумме отрезков $AE$ и $ED$, то есть $AD = AE + ED = x + x = 2x$.

Периметр трапеции $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех ее сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = x + x + x + 2x = 5x$.

По условию задачи, периметр равен 40 см, поэтому: $5x = 40$ см $x = 8$ см

Длина основания $BC$ равна $x$.

Ответ: основание $BC$ равно 8 см.

2)

Как было установлено в решении первого пункта, треугольник $\triangle ABE$ является равносторонним. Это означает, что все его внутренние углы равны $60^\circ$.

Угол $\angle BAD$ трапеции совпадает с углом $\angle BAE$ равностороннего треугольника, следовательно, $\angle BAD = 60^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, углы при основаниях равны. Значит, $\angle CDA = \angle BAD = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Отсюда находим тупые углы трапеции: $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, $\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.