Номер 10.47, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.47. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), катет $AC$ которого равен $a$. Грани $AA_1C_1C$ и $CC_1B_1B$ являются квадратами. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $A_1B$. Найдите площадь этого сечения.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C(0, 0, 0)$. Направим ось $Cx$ вдоль ребра $CB$, ось $Cy$ вдоль ребра $CA$ и ось $Cz$ вдоль ребра $CC_1$.

Так как основание призмы $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $AC = a$, то $BC = a$.

Грани $AA_1C_1C$ и $CC_1B_1B$ являются квадратами, следовательно, боковые ребра перпендикулярны основанию и равны $a$. Призма является прямой, и ее высота $h = CC_1 = a$.

Координаты вершин призмы:
$C(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$A(0, a, 0)$
$C_1(0, 0, a)$
$B_1(a, 0, a)$
$A_1(0, a, a)$

Точка $M$ — середина ребра $BC$, ее координаты: $M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $A_1B$.

Найдем вектор $\vec{A_1B}$, который будет являться вектором нормали $\vec{n}$ для плоскости сечения $\alpha$:
$\vec{n} = \vec{A_1B} = B - A_1 = (a-0, 0-a, 0-a) = (a, -a, -a)$.
Можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на $a$: $\vec{n_1} = (1, -1, -1)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $x - y - z + D = 0$. Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты точки $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$, через которую проходит плоскость:
$\frac{a}{2} - 0 - 0 + D = 0 \implies D = -\frac{a}{2}$.

Итак, уравнение плоскости сечения: $x - y - z - \frac{a}{2} = 0$.

Чтобы построить сечение, найдем точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами призмы.

1. Пересечение с ребром $BC$ (ось $Ox$, $y=0, z=0$): $x - 0 - 0 - \frac{a}{2} = 0 \implies x = \frac{a}{2}$. Это точка $M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

2. Пересечение с ребром $AB$ (лежит в плоскости $z=0$, уравнение прямой $x+y=a$):
Решаем систему:
$\begin{cases} x - y = a/2 \\ x + y = a \end{cases}$
Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{3a}{2} \implies x = \frac{3a}{4}$.
Тогда $y = a - x = a - \frac{3a}{4} = \frac{a}{4}$.
Получили точку $P\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}, 0\right)$. Точка $P$ лежит на ребре $AB$, так как ее координаты удовлетворяют условиям $0 \le x \le a$ и $0 \le y \le a$.

3. Пересечение с ребром $BB_1$ (прямая $x=a, y=0$):
$a - 0 - z - \frac{a}{2} = 0 \implies z = \frac{a}{2}$.
Получили точку $N\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$. Точка $N$ лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le z \le a$.

Плоскость сечения пересекает ребра $BC$, $AB$ и $BB_1$ в точках $M$, $P$ и $N$ соответственно. Точки $M, P$ лежат в плоскости основания $ABC$, поэтому отрезок $MP$ является линией пересечения. Точки $M, N$ лежат в плоскости боковой грани $CC_1B_1B$, поэтому отрезок $MN$ также является линией пересечения. Точки $P, N$ лежат в плоскости наклонной грани $AA_1B_1B$, поэтому отрезок $PN$ замыкает сечение.

Таким образом, искомое сечение — треугольник $MPN$.

Ответ: Сечением является треугольник $MPN$, где $P$ — точка на ребре $AB$ такая, что $AP:PB = 1:3$, а $N$ — середина ребра $BB_1$.

Площадь сечения — это площадь треугольника $MPN$. Найдем ее, используя координаты вершин:
$M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$
$P\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}, 0\right)$
$N\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$

Найдем векторы, образующие две стороны треугольника, например, $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$:
$\vec{PM} = M - P = \left(\frac{a}{2} - \frac{3a}{4}, 0 - \frac{a}{4}, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{4}, -\frac{a}{4}, 0\right)$
$\vec{PN} = N - P = \left(a - \frac{3a}{4}, 0 - \frac{a}{4}, \frac{a}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{4}, -\frac{a}{4}, \frac{a}{2}\right)$

Проверим, не является ли треугольник прямоугольным, вычислив скалярное произведение этих векторов:
$\vec{PM} \cdot \vec{PN} = \left(-\frac{a}{4}\right)\left(\frac{a}{4}\right) + \left(-\frac{a}{4}\right)\left(-\frac{a}{4}\right) + (0)\left(\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{16} + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$ перпендикулярны, следовательно, $\angle MPN = 90^\circ$. Треугольник $MPN$ — прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем длины катетов $PM$ и $PN$:
$|\vec{PM}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{a}{4}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{\frac{2a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.
$|\vec{PN}| = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2+a^2+4a^2}{16}} = \sqrt{\frac{6a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Теперь вычислим площадь $S_{MPN}$:
$S_{MPN} = \frac{1}{2} |\vec{PM}| \cdot |\vec{PN}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{4} = \frac{a^2\sqrt{12}}{32} = \frac{a^2 \cdot 2\sqrt{3}}{32} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.