Номер 10.40, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.40. На ребре $AB$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $K$ так, что $AK = 2BK$.

Известно, что $AB = AC = 13$ см, $BC = CD = DB = 15$ см, $AD = 14$ см.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $K$ и перпендикулярной прямой $AD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Обозначим искомую плоскость сечения как $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $K$ на ребре $AB$ и перпендикулярна прямой $AD$.

1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. По условию, $AB = AC = 13$ см, $DB = DC = 15$ см, а сторона $AD = 14$ см — общая. Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle ACD $ по трем сторонам.

2. В равных треугольниках $ABD$ и $ACD$ проведем высоты из вершин $B$ и $C$ к общей стороне $AD$. Пусть $H$ — основание высоты на прямой $AD$. Так как треугольники равны, высоты $BH$ и $CH$ также равны, а их основания совпадают. Таким образом, мы имеем $BH \perp AD$ и $CH \perp AD$.

3. Поскольку две пересекающиеся прямые $BH$ и $CH$ перпендикулярны прямой $AD$, то плоскость, проходящая через них (плоскость $BCH$), перпендикулярна прямой $AD$.

4. Искомая плоскость $ \alpha $ также перпендикулярна прямой $AD$ и проходит через точку $K$. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, искомая плоскость сечения $ \alpha $ параллельна плоскости $BCH$.

5. Для построения сечения проведем через точку $K$ прямые, параллельные сторонам треугольника $BCH$, в соответствующих гранях тетраэдра:

• В плоскости грани $ABD$ проведем через точку $K$ прямую, параллельную $BH$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $M$.
• В плоскости грани $ACD$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CH$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AC$ в точке $L$.
• Соединим точки $K$ и $L$. Отрезок $KL$ лежит в грани $ABC$.

Треугольник $KLM$ является искомым сечением.

Нахождение площади сечения

1. Для нахождения площади сечения $KLM$ необходимо найти длины его сторон. Для этого сначала найдем параметры вспомогательного треугольника $BCH$.

2. Найдем длину высоты $BH$ в треугольнике $ABD$ со сторонами $AB=13$, $DB=15$ и $AD=14$. Вычислим площадь $ \triangle ABD $ по формуле Герона. Полупериметр $p = (13+14+15)/2 = 42/2 = 21$ см. $S_{ABD} = \sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-DB)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$. С другой стороны, $S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH$. $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BH \implies 84 = 7 \cdot BH \implies BH = 12$ см.

3. Поскольку $ \triangle ABD = \triangle ACD $, то и высота $CH = BH = 12$ см.

4. По условию $AK = 2BK$, значит $AB = AK + BK = 3BK$, откуда $AK = \frac{2}{3}AB$.

5. Так как сечение $KLM$ построено параллельно плоскости $BCH$, то треугольник $KLM$ подобен треугольнику $BCH$. Найдем коэффициент подобия и стороны треугольника $KLM$.

• В плоскости $ABD$ из-за того, что $KM \parallel BH$, треугольники $AKM$ и $ABH$ подобны. Коэффициент подобия $k = \frac{AK}{AB} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $KM = k \cdot BH = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
• В плоскости $ACD$ из-за того, что $ML \parallel CH$, треугольники $AML$ и $AHC$ подобны с тем же коэффициентом $k = \frac{AM}{AH} = \frac{AK}{AB} = \frac{2}{3}$. Следовательно, $ML = k \cdot CH = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
• В плоскости $ABC$, поскольку $\frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AC} = \frac{2}{3}$, треугольники $AKL$ и $ABC$ подобны, и $KL \parallel BC$. Следовательно, $KL = k \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

6. Мы получили, что сечение $KLM$ — это равнобедренный треугольник со сторонами $KM = ML = 8$ см и основанием $KL = 10$ см.

7. Найдем площадь треугольника $KLM$. Проведем высоту $MP$ из вершины $M$ к основанию $KL$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $KP = \frac{1}{2} KL = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. Из прямоугольного треугольника $KMP$ по теореме Пифагора найдем высоту $MP$: $MP^2 = KM^2 - KP^2 = 8^2 - 5^2 = 64 - 25 = 39$. $MP = \sqrt{39}$ см.

8. Площадь сечения (треугольника $KLM$) равна: $S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{39} = 5\sqrt{39}$ см$^2$.

Ответ: $5\sqrt{39}$ см$^2$.