Номер 10.43, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.43. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E$, а медианы треугольника $DBC$ — в точке $F$. Докажите, что прямая $EF$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Для доказательства того, что прямая $EF$ перпендикулярна плоскости $ABC$, мы докажем, что прямая $EF$ параллельна прямой $AD$, которая по условию перпендикулярна плоскости $ABC$.

1. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Тогда отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$.

2. Точка $E$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Следовательно, точка $E$ лежит на медиане $AM$. По свойству точки пересечения медиан (центроида), она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $AE : EM = 2:1$. Из этого соотношения следует, что $ME = \frac{1}{3} AM$.

3. Рассмотрим треугольник $DBC$. Поскольку $M$ является серединой стороны $BC$, отрезок $DM$ является медианой треугольника $DBC$.

4. Точка $F$ — точка пересечения медиан треугольника $DBC$. Следовательно, точка $F$ лежит на медиане $DM$. Аналогично пункту 2, $DF : FM = 2:1$, и, следовательно, $MF = \frac{1}{3} DM$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ADM$. В этом треугольнике точка $E$ лежит на стороне $AM$, а точка $F$ — на стороне $DM$. Мы установили, что $\frac{ME}{AM} = \frac{1}{3}$ и $\frac{MF}{DM} = \frac{1}{3}$.

6. Поскольку $\frac{ME}{AM} = \frac{MF}{DM} = \frac{1}{3}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников $\triangle MFE$ и $\triangle MDA$), прямая $EF$ параллельна прямой $AD$.

7. По условию задачи, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то есть $AD \perp (ABC)$.

8. Согласно теореме о двух параллельных прямых и плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Так как $EF \parallel AD$ и $AD \perp (ABC)$, то и $EF \perp (ABC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $EF$ перпендикулярна плоскости $ABC$.