Номер 10.38, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.38. Рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точка $O$ — центр треугольника $ABC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $O$ перпендикулярно прямой $AD$.

Поскольку все ребра тетраэдра $DABC$ равны, данный тетраэдр является правильным. Это означает, что все его грани — равносторонние треугольники. Точка $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$, следовательно, она является точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Обозначим искомую плоскость сечения через $\alpha$. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $AD$ ($\alpha \perp AD$).

Для построения сечения выполним следующие шаги:

1. Нахождение линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$.

В правильном тетраэдре скрещивающиеся (противоположные) ребра перпендикулярны. В частности, ребро $AD$ перпендикулярно ребру $BC$. Итак, мы имеем:

• $AD \perp \alpha$ (по условию).
• $AD \perp BC$ (свойство правильного тетраэдра).

Из этих двух условий следует, что прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Плоскость сечения $\alpha$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по некоторой прямой. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и при этом параллельна плоскости $\alpha$, то линия их пересечения будет прямой, параллельной $BC$. Эта прямая также должна проходить через точку $O$, поскольку точка $O$ принадлежит обеим плоскостям.Таким образом, в плоскости треугольника $ABC$ проводим прямую через точку $O$ параллельно стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает ребра $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ является стороной искомого сечения.

2. Нахождение точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AD$.

Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Плоскость $(ADM)$ содержит медианы $AM$ и $DM$ и является плоскостью симметрии тетраэдра. В этой плоскости лежат как прямая $AD$, так и точка $O$ (поскольку $O$ лежит на медиане $AM$).

Так как секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AD$, а плоскость $(ADM)$ проходит через прямую $AD$, то линия пересечения этих двух плоскостей должна быть перпендикулярна прямой $AD$. Эта линия пересечения также проходит через общую точку $O$.

Следовательно, в плоскости $(ADM)$ необходимо построить перпендикуляр из точки $O$ к прямой $AD$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $R$. Точка $R$ лежит на ребре $AD$ и, по построению, принадлежит плоскости $\alpha$. Значит, $R$ — одна из вершин искомого сечения.

3. Итоговое построение сечения.

Мы нашли три точки сечения, лежащие на ребрах тетраэдра: $P$ на $AB$, $Q$ на $AC$ и $R$ на $AD$. Можно показать, что плоскость $\alpha$ не пересекает другие ребра тетраэдра ($BC$, $BD$, $CD$), так как вершины $B$, $C$ и $D$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершина $A$ — по другую.

Таким образом, искомое сечение является треугольником, вершины которого — это точки $P$, $Q$ и $R$.

Алгоритм построения:

1. В плоскости основания $(ABC)$ через его центр $O$ провести прямую, параллельную стороне $BC$. Отметить точки $P$ и $Q$ на пересечении этой прямой с ребрами $AB$ и $AC$ соответственно.
2. Взять точку $M$ как середину ребра $BC$ и рассмотреть плоскость $(ADM)$.
3. В плоскости $(ADM)$ из точки $O$ опустить перпендикуляр на ребро $AD$. Основание перпендикуляра обозначить как $R$.
4. Соединить отрезками точки $P$, $Q$ и $R$.

Полученный треугольник $PQR$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $PQR$, где точки $P$ и $Q$ лежат на ребрах $AB$ и $AC$ и являются концами отрезка, проходящего через центр $O$ основания $ABC$ параллельно стороне $BC$, а точка $R$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на ребро $AD$.