Номер 10.31, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10.31, страница 122.

Условие.

10.31. При симметрии относительно плоскости образом прямой $a$ является прямая $a_1$. Докажите, что прямые $a$ и $a_1$ лежат в одной плоскости.

Решение.

Решение 2.

Пусть $\pi$ — плоскость симметрии. По условию, прямая $a_1$ является образом прямой $a$ при симметрии относительно плоскости $\pi$. Необходимо доказать, что прямые $a$ и $a_1$ лежат в одной плоскости.

Для доказательства выберем на прямой $a$ две произвольные различные точки $A$ и $B$. При симметрии относительно плоскости $\pi$ они отобразятся в точки $A_1$ и $B_1$ соответственно. По определению образа прямой, точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $a_1$.

По определению симметрии относительно плоскости, отрезок, соединяющий точку и ее образ, перпендикулярен плоскости симметрии. Следовательно, отрезок $AA_1$ перпендикулярен плоскости $\pi$ ($AA_1 \perp \pi$), и отрезок $BB_1$ также перпендикулярен плоскости $\pi$ ($BB_1 \perp \pi$).

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Значит, прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$.

Рассмотрим два возможных случая, основанных на расположении этих параллельных прямых.

1. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ не совпадают.
Две различные параллельные прямые в пространстве задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. Плоскость $\beta$ содержит прямые $AA_1$ и $BB_1$ и, следовательно, все четыре точки $A$, $B$, $A_1$ и $B_1$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$, проходящая через эти точки, лежит в плоскости $\beta$. Аналогично, поскольку точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $a_1$, проходящая через эти точки, также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, обе прямые $a$ и $a_1$ лежат в одной и той же плоскости $\beta$.

2. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ совпадают.
Этот случай имеет место, когда исходная прямая $a$ перпендикулярна плоскости симметрии $\pi$. Тогда все четыре точки $A$, $B$, $A_1$ и $B_1$ лежат на одной прямой. Это означает, что прямые $a$ (проходящая через $A, B$) и $a_1$ (проходящая через $A_1, B_1$) совпадают ($a = a_1$). Совпадающие прямые, очевидно, лежат в одной плоскости.

В обоих рассмотренных случаях мы пришли к выводу, что прямые $a$ и $a_1$ лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.