Номер 10.36, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 10.36, страница 122.

Условие.

10.36. Существуют ли в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?

Решение.

Решение 2.

Нет, в трехмерном пространстве не существует четырех попарно перпендикулярных прямых.

Докажем это методом от противного.

Предположим, что такие четыре прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ существуют. Каждой прямой в пространстве соответствует ее направляющий вектор. Обозначим направляющие векторы наших прямых как $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$. Так как это направляющие векторы, ни один из них не является нулевым.

Условие, что прямые попарно перпендикулярны, означает, что их направляющие векторы попарно ортогональны. Условие ортогональности двух векторов — это равенство их скалярного произведения нулю. Таким образом, для любых различных индексов $i$ и $j$ из множества $\{1, 2, 3, 4\}$ выполняется условие:

$\vec{v_i} \cdot \vec{v_j} = 0$

Рассмотрим теперь эти четыре вектора $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ в трехмерном пространстве. Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, любой набор ненулевых, попарно ортогональных векторов является линейно независимым.

Таким образом, если бы наше предположение было верным, то мы бы имели систему из четырех линейно независимых векторов в трехмерном пространстве.

Однако размерность трехмерного пространства равна трем. Это означает, что максимальное количество линейно независимых векторов в нем равно трем. Любой набор из четырех (и более) векторов в трехмерном пространстве обязательно будет линейно зависимым.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, векторы должны быть линейно независимыми (из-за ортогональности), а с другой — они должны быть линейно зависимыми (поскольку их четыре в трехмерном пространстве). Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании четырех попарно перпендикулярных прямых неверно.

Ответ: не существуют.