Номер 10.42, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.42. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $BM$, перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что линия пересечения плоскостей $ABM$ и $CDM$ перпендикулярна плоскости $BCM$.

Дано:

$ABCD$ – квадрат.
Прямая $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата, то есть $BM \perp (ABC)$.

Доказать:

Линия пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDM)$ перпендикулярна плоскости $(BCM)$.

Доказательство:

1. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDM)$. Поскольку точка $M$ принадлежит обеим плоскостям, она лежит на их линии пересечения.

   Так как $ABCD$ – квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

   Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABM)$, а прямая $CD$ лежит в плоскости $(CDM)$. По теореме о пересечении двух плоскостей, содержащих параллельные прямые, их линия пересечения параллельна этим прямым.

   Обозначим линию пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDM)$ как прямую $l$. Тогда прямая $l$ проходит через точку $M$ и параллельна прямым $AB$ и $CD$. То есть, $M \in l$ и $l \parallel AB \parallel CD$.

2. Чтобы доказать, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(BCM)$, нужно доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем прямые $BC$ и $BM$.

3. Докажем, что $l \perp BC$. Поскольку $ABCD$ – квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AB \perp BC$. Мы установили, что $l \parallel AB$. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, $l \perp BC$.

4. Докажем, что $l \perp BM$. По условию, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$, т.е. $BM \perp (ABC)$. Это означает, что $BM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, значит $BM \perp AB$. Так как $l \parallel AB$, то по той же теореме, что и в предыдущем пункте, получаем, что $l \perp BM$.

5. Итак, мы доказали, что прямая $l$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $B$ прямым $BC$ и $BM$, которые лежат в плоскости $(BCM)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(BCM)$.

   Так как $l$ является линией пересечения плоскостей $(ABM)$ и $(CDM)$, то доказано, что линия пересечения этих плоскостей перпендикулярна плоскости $(BCM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.