Номер 10.37, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.37. Каждое ребро тетраэдра $DABC$ равно $a$. На ребре $AD$ отмечена точка $M$ такая, что $AM : MD = 3 : 1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $AD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$, у которого все ребра равны $a$. Точка $M$ лежит на ребре $AD$ и делит его в отношении $AM : MD = 3:1$. Требуется построить сечение тетраэдра плоскостью $α$, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $AD$.

1. Рассмотрим грань $ABD$, которая является равносторонним треугольником со стороной $a$. Проведем в этом треугольнике высоту $BK$ к стороне $AD$. Так как $ΔABD$ равносторонний, то $∠DAB = 60°$. Тогда из прямоугольного треугольника $AKB$ имеем $AK = AB \cdot \cos(60°) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$. Следовательно, $K$ — середина ребра $AD$. По определению высоты, $BK \perp AD$.

2. Аналогично, рассмотрим грань $ACD$, которая также является равносторонним треугольником. Проведем в ней высоту $CK$ к стороне $AD$. Так как $ΔACD$ равносторонний, точка $K$ также будет серединой ребра $AD$. По определению высоты, $CK \perp AD$.

3. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BK$ и $CK$ в плоскости $BCK$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(BCK)$.

4. По условию, искомая плоскость сечения $α$ также перпендикулярна ребру $AD$. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, $α \parallel (BCK)$.

5. Таким образом, искомое сечение — это многоугольник, полученный пересечением тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ на ребре $AD$ и параллельной плоскости $(BCK)$. Сечение будет представлять собой треугольник, подобный треугольнику $BCK$.

6. Построим этот треугольник. Назовем его $MPQ$. Так как секущая плоскость $α$ параллельна $(BCK)$, она будет пересекать грани тетраэдра по прямым, параллельным соответствующим сторонам треугольника $BCK$.

• В грани $ADB$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную $BK$. Эта прямая пересечет ребро $DB$ в точке $P$. Получим отрезок $MP$.
• В грани $ADC$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$. Эта прямая пересечет ребро $DC$ в точке $Q$. Получим отрезок $MQ$.
• Соединим точки $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ лежит в грани $BDC$. Так как $α \parallel (BCK)$, то $PQ \parallel BC$.

Треугольник $MPQ$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MPQ$, где $P$ — точка на ребре $DB$, $Q$ — точка на ребре $DC$, такие что $MP \parallel BK$ и $MQ \parallel CK$, где $K$ — середина ребра $AD$.

Нахождение площади этого сечения

Как было установлено, сечение $ΔMPQ$ подобно $ΔBCK$. Коэффициент подобия $k$ можно найти из подобия треугольников $ΔDM P$ и $ΔDKB$ (по двум углам, так как $MP \parallel KB$ и $∠D$ общий).

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{DM}{DK}$.

Найдем длины отрезков $DM$ и $DK$. Длина ребра $AD = a$. По условию $AM : MD = 3 : 1$, следовательно, $AD = AM + MD = 3MD + MD = 4MD$. Отсюда $MD = \frac{AD}{4} = \frac{a}{4}$. Точка $K$ — середина $AD$, поэтому $DK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем коэффициент подобия: $k = \frac{DM}{DK} = \frac{a/4}{a/2} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем стороны треугольника $BCK$.

• Сторона $BC$ является ребром тетраэдра, $BC = a$.
• Сторона $BK$ является высотой в равностороннем треугольнике $ABD$ со стороной $a$. Ее длина: $BK = a \sin(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Сторона $CK$ является высотой в равностороннем треугольнике $ACD$ со стороной $a$. Ее длина: $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $ΔBCK$ — равнобедренный треугольник со сторонами $a$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Стороны треугольника сечения $MPQ$ равны сторонам $ΔBCK$, умноженным на коэффициент подобия $k = 1/2$:

• $PQ = k \cdot BC = \frac{1}{2}a = \frac{a}{2}$.
• $MP = k \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
• $MQ = k \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Сечение $ΔMPQ$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{a}{2}$ и боковыми сторонами $MP = MQ = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Найдем площадь $ΔMPQ$. Проведем высоту $MH$ к основанию $PQ$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $PH = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$.

По теореме Пифагора для треугольника $MPH$: $MH^2 = MP^2 - PH^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{3a^2}{16} - \frac{a^2}{16} = \frac{2a^2}{16} = \frac{a^2}{8}$. $MH = \sqrt{\frac{a^2}{8}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Площадь сечения $S_{MPQ}$: $S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{16}$.