Номер 10.35, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.35. Докажите, что прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной этой прямой.

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$ на этой прямой ($P \in l$). Рассмотрим множество всех прямых, проходящих через точку $P$ и перпендикулярных прямой $l$. Наша задача — доказать, что все эти прямые лежат в одной плоскости, которая проходит через точку $P$ и перпендикулярна прямой $l$.

Доказательство:

1. Согласно теореме стереометрии, через любую точку на прямой можно провести единственную плоскость, перпендикулярную этой прямой. Проведём через точку $P$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$. По построению, эта плоскость удовлетворяет двум условиям: она проходит через точку $P$ и перпендикулярна прямой $l$.
2. Теперь нам необходимо доказать, что любая прямая $m$, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная прямой $l$ ($m \perp l$), лежит в этой плоскости $\alpha$.
3. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существует прямая $m$, которая проходит через точку $P$ и перпендикулярна прямой $l$, но не лежит в плоскости $\alpha$.
4. Поскольку прямая $m$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку $P$, но $m$ не лежит в $\alpha$, то $m$ пересекает $\alpha$ в единственной точке $P$.
5. Прямые $l$ и $m$ пересекаются в точке $P$. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$. Таким образом, и прямая $l$, и прямая $m$ лежат в плоскости $\beta$.
6. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $P$, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $m'$. Так как $P$ — общая точка, то $P \in m'$. Поскольку $m'$ — линия пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $m' \subset \alpha$ и $m' \subset \beta$.
7. По построению плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $l$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку их пересечения $P$. Так как прямая $m'$ лежит в $\alpha$ и проходит через $P$, то $l \perp m'$.
8. Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат прямые $l$, $m$ и $m'$. Обе прямые, $m$ и $m'$, проходят через точку $P$ и перпендикулярны прямой $l$. Однако, согласно теореме планиметрии, в плоскости через данную точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную ей. Следовательно, прямые $m$ и $m'$ должны совпадать.
9. Из того, что $m = m'$ и $m' \subset \alpha$, следует, что и прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). Это утверждение противоречит нашему первоначальному предположению, что $m$ не лежит в $\alpha$.
10. Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, любая прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $l$, лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, доказано, что все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, а именно в той, что проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.