Номер 10.33, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.33. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Постройте сечение куба, проходящее через точку $O$ и перпендикулярное прямой $AC$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $C_1(0, a, a)$, $D_1(0, 0, a)$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Ее координаты равны полусумме координат противоположных вершин, например, $D$ и $C_1$: $O = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $O$ и перпендикулярна прямой $AC$. Вектор $\vec{AC}$ является нормальным вектором к плоскости $\alpha$. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \{0-a, a-0, 0-0\} = \{-a, a, 0\}$. В качестве нормального вектора $\vec{n}$ можно взять коллинеарный вектор, например, $\vec{n} = \{-1, 1, 0\}$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты нормального вектора. Подставив координаты $\vec{n}$, получаем: $-x + y + D = 0$.

Поскольку плоскость проходит через точку $O(0, a/2, a/2)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим их, чтобы найти $D$: $-(0) + \frac{a}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{a}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-x + y - \frac{a}{2} = 0$, или $y - x = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Пересечение с ребром $DC$ (уравнения $x=0, z=0$): $y - 0 = \frac{a}{2} \implies y = \frac{a}{2}$. Точка $K(0, a/2, 0)$ — середина $DC$.
• Пересечение с ребром $BC$ (уравнения $y=a, z=0$): $a - x = \frac{a}{2} \implies x = \frac{a}{2}$. Точка $L(a/2, a, 0)$ — середина $BC$.
• Пересечение с ребром $D_1C_1$ (уравнения $x=0, z=a$): $y - 0 = \frac{a}{2} \implies y = \frac{a}{2}$. Точка $M(0, a/2, a)$ — середина $D_1C_1$.
• Пересечение с ребром $B_1C_1$ (уравнения $y=a, z=a$): $a - x = \frac{a}{2} \implies x = \frac{a}{2}$. Точка $N(a/2, a, a)$ — середина $B_1C_1$.

Соединив последовательно эти точки, получаем четырехугольник $KLNM$.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $KLNM$, вершины которого являются серединами ребер $DC$, $BC$, $B_1C_1$ и $D_1C_1$ соответственно.

Нахождение площади этого сечения

Найдем длины сторон четырехугольника $KLNM$, используя координаты его вершин: $K(0, a/2, 0)$, $L(a/2, a, 0)$, $N(a/2, a, a)$, $M(0, a/2, a)$.

Длина стороны $KL$: $|KL| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + \left(a-\frac{a}{2}\right)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Длина стороны $LN$: $|LN| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2 + (a-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{0 + 0 + a^2} = a$.

Длина стороны $NM$: $|NM| = \sqrt{\left(0-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}-a\right)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Длина стороны $MK$: $|MK| = \sqrt{(0-0)^2 + \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{0 + 0 + (-a)^2} = a$.

Так как $|KL| = |NM|$ и $|LN| = |MK|$, четырехугольник $KLNM$ является параллелограммом. Проверим, является ли он прямоугольником. Для этого найдем скалярное произведение векторов смежных сторон, например, $\vec{KL}$ и $\vec{LN}$. $\vec{KL} = \{\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\}$ $\vec{LN} = \{0, 0, a\}$ $\vec{KL} \cdot \vec{LN} = \frac{a}{2} \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол $\angle KLN = 90^\circ$. Следовательно, $KLNM$ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника $S_{KLNM}$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{KLNM} = |KL| \cdot |LN| = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.