Номер 10.32, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.32. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $DC$. Постройте сечение куба, проходящее через точку $M$ и перпендикулярное прямой $BD$. Найдите площадь этого сечения.

Постройте сечение куба, проходящее через точку M и перпендикулярное прямой BD.

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, она проходит через точку $M$ (середину ребра $DC$) и перпендикулярна диагонали $BD$ ($M \in \alpha$, $\alpha \perp BD$).

1. В основании куба $ABCD$, которое является квадратом, диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

2. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $BD$. Таким образом, $AA_1 \perp BD$.

3. Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $AA_1$, лежащим в плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$, то прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.

4. По условию плоскость сечения $\alpha$ также перпендикулярна $BD$. Если две плоскости ($\alpha$ и $ACC_1A_1$) перпендикулярны одной и той же прямой ($BD$), то они параллельны друг другу: $\alpha \parallel ACC_1A_1$.

5. Таким образом, задача сводится к построению плоскости, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $ACC_1A_1$.

6. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с основанием $ABCD$ проходит через точку $M$ и параллельна линии пересечения плоскости $ACC_1A_1$ с основанием, то есть прямой $AC$. Проведем через $M$ прямую, параллельную $AC$. Пусть она пересекает ребро $AD$ в точке $P$. В треугольнике $\triangle DAC$ отрезок $MP$ является средней линией, поскольку проходит через середину стороны $DC$ параллельно основанию $AC$. Следовательно, точка $P$ — середина ребра $AD$.

7. Так как плоскость сечения $\alpha$ параллельна "вертикальной" плоскости $ACC_1A_1$, то $\alpha$ также является "вертикальной" плоскостью, то есть перпендикулярной основанию $ABCD$.

8. Сечение представляет собой четырехугольник, образованный отрезком $MP$ и отрезками, проведенными из точек $M$ и $P$ параллельно боковому ребру $DD_1$ до пересечения с ребрами верхнего основания. Пусть эти точки пересечения будут $M_1$ на ребре $D_1C_1$ и $P_1$ на ребре $D_1A_1$. Точки $M_1$ и $P_1$ являются серединами соответствующих ребер.

Искомое сечение — это четырехугольник $PMM_1P_1$. Так как $MP \parallel P_1M_1$ и $PP_1 \parallel MM_1$, это параллелограмм. А так как ребро $PP_1$ (параллельное $DD_1$) перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, прямой $MP$, то $PMM_1P_1$ — прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — это прямоугольник $PMM_1P_1$, вершины которого — точки $P$ (середина $AD$), $M$ (середина $DC$), $M_1$ (середина $D_1C_1$) и $P_1$ (середина $A_1D_1$).

Найдите площадь этого сечения.

Сечением является прямоугольник $PMM_1P_1$, площадь которого равна произведению длин его смежных сторон $MP$ и $PP_1$.

1. Длина стороны $PP_1$ равна высоте куба, так как отрезок $PP_1$ параллелен ребру $DD_1$. Следовательно, $PP_1 = a$.

2. Длина стороны $MP$ равна длине средней линии треугольника $\triangle DAC$. Основание этого треугольника, диагональ $AC$, можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ с катетами $a$:
$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Длина средней линии $MP$ равна половине длины основания $AC$:
$MP = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Теперь находим площадь прямоугольника $PMM_1P_1$:
$S = MP \cdot PP_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.