Номер 10.44, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.44. В тетраэдре $DABC$ ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ADC$, $\angle DAC = 90^\circ$, $AD = AC = 10\sqrt{2}$ см, $BD = 12$ см. Точка $M$ — середина ребра $AC$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной ребру $CD$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ (середину ребра $AC$) и перпендикулярна ребру $CD$.

1. Построим линию пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ADC$. Эта линия должна проходить через точку $M$ и быть перпендикулярной $CD$. Проведем в плоскости $ADC$ перпендикуляр $MK$ к прямой $CD$, где точка $K$ лежит на ребре $CD$. Отрезок $MK$ — первая сторона сечения.

2. Построим линию пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCD$. Эта линия проходит через точку $K$ и также должна быть перпендикулярна $CD$. Из условия, ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ADC$, следовательно, $BD \perp CD$. Таким образом, в плоскости $BCD$ все прямые, перпендикулярные $CD$, параллельны $BD$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $BD$. Пусть она пересекает ребро $BC$ в точке $P$. Тогда $KP \parallel BD$. Отрезок $KP$ — вторая сторона сечения.

3. Точки $M$ (на ребре $AC$) и $P$ (на ребре $BC$) лежат в плоскости грани $ABC$. Соединив их, получим отрезок $MP$ — третью сторону сечения.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MKP$.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади треугольника $MKP$ определим его вид и найдем длины его сторон.

Сначала рассмотрим грань $ADC$. Треугольник $ADC$ — прямоугольный, так как $\angle DAC = 90^\circ$, и равнобедренный, так как $AD = AC = 10\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $CD$:
$CD = \sqrt{AD^2 + AC^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 200} = \sqrt{400} = 20$ см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ADC$ углы при гипотенузе равны $45^\circ$, то есть $\angle ACD = \angle ADC = 45^\circ$.

Точка $M$ — середина катета $AC$, поэтому $MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $MKC$. Он прямоугольный, так как $MK \perp CD$ по построению. Угол $\angle KCM = \angle ACD = 45^\circ$. Найдем длину катета $MK$:
$MK = MC \cdot \sin(\angle KCM) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см.

Найдем длину отрезка $CK$ в том же треугольнике $MKC$:
$CK = MC \cdot \cos(\angle KCM) = 5\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим грань $BCD$. Так как $BD \perp (ADC)$, то $BD \perp CD$. Следовательно, треугольник $BCD$ — прямоугольный с прямым углом $\angle BDC$. По построению $KP \parallel BD$. Треугольники $CKP$ и $CDB$ подобны, так как угол $\angle C$ у них общий, а $\angle CPK = \angle CBD$ как соответственные углы при параллельных прямых $KP$ и $BD$ и секущей $BC$. Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{KP}{BD} = \frac{CK}{CD}$

Подставим известные значения: $BD=12$ см, $CK=5$ см, $CD=20$ см.
$\frac{KP}{12} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
$KP = \frac{12}{4} = 3$ см.

Определим угол между сторонами $MK$ и $KP$. Так как $BD \perp (ADC)$, то ребро $BD$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $MK$. Итак, $BD \perp MK$. Поскольку по построению $KP \parallel BD$, то и $KP \perp MK$. Следовательно, $\angle MKP = 90^\circ$.

Таким образом, сечение $MKP$ является прямоугольным треугольником с катетами $MK = 5$ см и $KP = 3$ см.

Площадь сечения $S_{MKP}$ равна:
$S_{MKP} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KP = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7,5$ см².

Ответ: 7,5 см².