Номер 10.46, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.46. Точка $M$ — середина ребра $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $a$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $B_1D$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты: $D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $B_1(a, a, a)$.

Точка $M$ является серединой ребра $AB$, ее координаты равны:$M\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$, то есть $M\left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Плоскость сечения перпендикулярна прямой $B_1D$. Вектор $\vec{DB_1}$ является вектором нормали к этой плоскости. Найдем его координаты:$\vec{n} = \vec{DB_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $(1, 1, 1)$.

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{n}=(1, 1, 1)$, имеет вид $x + y + z + C = 0$.Так как плоскость проходит через точку $M\left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$, подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $C$:$a + \frac{a}{2} + 0 + C = 0 \implies \frac{3a}{2} + C = 0 \implies C = -\frac{3a}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + y + z - \frac{3a}{2} = 0$, или $x + y + z = \frac{3a}{2}$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AB$: $x=a, z=0 \implies a+y+0 = \frac{3a}{2} \implies y=\frac{a}{2}$. Точка $M\left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$.
• Ребро $BC$: $y=a, z=0 \implies x+a+0 = \frac{3a}{2} \implies x=\frac{a}{2}$. Точка $P\left(\frac{a}{2}, a, 0\right)$ (середина $BC$).
• Ребро $CC_1$: $x=0, y=a \implies 0+a+z = \frac{3a}{2} \implies z=\frac{a}{2}$. Точка $Q\left(0, a, \frac{a}{2}\right)$ (середина $CC_1$).
• Ребро $C_1D_1$: $z=a, y=a \implies x+a+a = \frac{3a}{2} \implies x=-\frac{a}{2}$. Не пересекает ребро.
• Ребро $D_1A_1$: $z=a, y=0 \implies x+0+a = \frac{3a}{2} \implies x=\frac{a}{2}$. Точка $R\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$ (середина $D_1A_1$).
• Ребро $A_1A$: $x=a, y=0 \implies a+0+z = \frac{3a}{2} \implies z=\frac{a}{2}$. Точка $S\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$ (середина $A_1A$).
• Ребро $C_1D_1$: $z=a, x=0 \implies 0+y+a=\frac{3a}{2} \implies y=\frac{a}{2}$. Точка $T\left(0, \frac{a}{2}, a\right)$ (середина $C_1D_1$).

Итак, сечение является шестиугольником $MPSQRT$. Его вершины — середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$.

Нахождение площади сечения

Найдем длину одной из сторон шестиугольника, например, $MP$.$M\left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$, $P\left(\frac{a}{2}, a, 0\right)$.$|MP|^2 = \left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (0 - 0)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Длина стороны $s = |MP| = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В силу симметрии куба и расположения вершин сечения (все вершины являются серединами ребер), шестиугольник $MPSQRT$ является правильным.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.Подставим найденное значение $s$:$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.