Номер 10.53, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.53. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольного треугольника касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Согласно условию, его катеты равны 3 см и 4 см. Пусть больший катет $AC = 4$ см, а меньший катет $BC = 3$ см.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, который по условию лежит на гипотенузе $AB$. Обозначим радиус окружности как $R$.

Из условия задачи известно, что окружность касается большего катета $AC$. Пусть $D$ — точка касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OD \perp AC$, и длина этого радиуса $OD = R$.

Также по условию окружность проходит через вершину острого угла, противолежащего большему катету $AC$. Этой вершиной является точка $B$. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до точки $B$ равно радиусу, то есть $OB = R$.

Рассмотрим треугольник $ADO$. Так как $OD \perp AC$, то $\angle ADO = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ADO$ является прямоугольным. Этот треугольник подобен исходному треугольнику $ABC$, поскольку у них есть общий острый угол $A$ и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников ($ \triangle ADO \sim \triangle ABC $) следует пропорциональность их соответствующих сторон:$\frac{OD}{BC} = \frac{AO}{AB}$

Мы знаем следующие величины: $OD = R$, $BC = 3$ см, $AB = 5$ см. Точка $O$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длину отрезка $AO$ можно выразить через $AB$ и $OB$: $AO = AB - OB$. Так как $OB = R$, получаем $AO = 5 - R$.

Теперь подставим все известные и выраженные значения в уравнение пропорции:$\frac{R}{3} = \frac{5 - R}{5}$

Решим полученное уравнение относительно $R$, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$5 \cdot R = 3 \cdot (5 - R)$$5R = 15 - 3R$$5R + 3R = 15$$8R = 15$$R = \frac{15}{8}$ см.

Ответ: $\frac{15}{8}$ см.