gdz.top
Номер 11.8, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная - номер 11.8, страница 133.
№11.7
№11.8 (с. 133)
Условие. №11.8 (с. 133)
11.8. Докажите, что если проекции двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны, то равны и наклонные.
Решение. №11.8 (с. 133)
Решение 2. №11.8 (с. 133)
Пусть из точки $ A $, не принадлежащей плоскости $ \alpha $, проведены две наклонные $ AB $ и $ AC $ к этой плоскости (точки $ B $ и $ C $ лежат в плоскости $ \alpha $). Проведём из точки $ A $ перпендикуляр $ AH $ к плоскости $ \alpha $ (точка $ H $ — основание перпендикуляра).
По определению, отрезок $ HB $ является проекцией наклонной $ AB $ на плоскость $ \alpha $, а отрезок $ HC $ — проекцией наклонной $ AC $ на ту же плоскость.
Согласно условию задачи, проекции этих наклонных равны, то есть $ HB = HC $.
Необходимо доказать, что сами наклонные равны: $ AB = AC $.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $.
Поскольку $ AH $ — перпендикуляр к плоскости $ \alpha $, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $ H $. Следовательно, $ AH \perp HB $ и $ AH \perp HC $. Это означает, что треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $ являются прямоугольными, где $ \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ $.
Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Катет $ AH $ является общим для обоих треугольников.
2. Катет $ HB $ равен катету $ HC $ по условию ($ HB = HC $).
Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $ равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенуза $ AB $ треугольника $ \triangle AHB $ равна гипотенузе $ AC $ треугольника $ \triangle AHC $.
Следовательно, $ AB = AC $, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 11.8 расположенного на странице 133 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №11.8 (с. 133), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.