Номер 11.15, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.15. Из точки $M$ провели к плоскости $\alpha$ равные наклонные $MA, MB, MC$ и $MD$. Могут ли точки $A, B, C$ и $D$ быть вершинами:

1) прямоугольника;

2) ромба;

3) прямоугольной трапеции;

4) равнобокой трапеции?

Пусть O — проекция точки M на плоскость α. Тогда отрезки OA, OB, OC и OD являются проекциями наклонных MA, MB, MC и MD на эту плоскость.

Поскольку MO — перпендикуляр к плоскости α, то треугольники ΔMOA, ΔMOB, ΔMOC и ΔMOD являются прямоугольными (с прямым углом при вершине O). У них общий катет MO, а гипотенузы MA, MB, MC и MD равны по условию задачи.

Из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету следует равенство других катетов: $OA = OB = OC = OD$.

Это означает, что точки A, B, C и D равноудалены от точки O и, следовательно, лежат на одной окружности с центром в точке O. Таким образом, задача сводится к выяснению, какие из перечисленных четырехугольников могут быть вписаны в окружность.

1) прямоугольника

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$. У прямоугольника все углы равны $90°$, поэтому сумма любых двух противоположных углов равна $90° + 90° = 180°$. Следовательно, любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Ответ: Да.

2) ромба

Чтобы ромб можно было вписать в окружность, сумма его противоположных углов должна быть равна $180°$. В ромбе противоположные углы равны. Если один из углов ромба равен α, то и противоположный ему угол равен α. Для того чтобы ромб был вписанным, должно выполняться условие $α + α = 180°$, откуда $α = 90°$. Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Квадрат можно вписать в окружность. Таким образом, точки A, B, C и D могут быть вершинами ромба, если этот ромб является квадратом.

Ответ: Да.

3) прямоугольной трапеции

Чтобы прямоугольную трапецию можно было вписать в окружность, сумма ее противоположных углов должна быть равна $180°$. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла при одной из боковых сторон. Пусть это углы $\angle A$ и $\angle B$. Тогда $\angle A = \angle B = 90°$. Для вписанной трапеции должно выполняться: $\angle A + \angle C = 180°$ и $\angle B + \angle D = 180°$. Отсюда следует, что $\angle C = 180° - 90° = 90°$ и $\angle D = 180° - 90° = 90°$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Прямоугольник является частным случаем прямоугольной трапеции. Так как прямоугольник можно вписать в окружность, то точки A, B, C и D могут быть вершинами прямоугольной трапеции.

Ответ: Да.

4) равнобокой трапеции

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она является равнобокой. Это одно из свойств равнобокой трапеции. Сумма ее противоположных углов всегда равна $180°$. Следовательно, любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность.

Ответ: Да.