Номер 11.9, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.9. Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, который лежит в плоскости $\alpha$. Около этого многоугольника описана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению описанной окружности, все вершины многоугольника лежат на ней, и, следовательно, расстояния от центра $O$ до каждой вершины равны радиусу: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.

По условию задачи, дана прямая $l$, которая перпендикулярна плоскости многоугольника $\alpha$ и проходит через центр описанной окружности $O$. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $l$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех вершин многоугольника, то есть что $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Рассмотрим треугольники, образованные точкой $M$, центром $O$ и каждой из вершин многоугольника: $\triangle MOA_1, \triangle MOA_2, ..., \triangle MOA_n$. В этих треугольниках отрезки $MA_i$ являются расстояниями от точки $M$ до вершин.

Поскольку прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($l \perp \alpha$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения $O$. Все отрезки $OA_i$ (радиусы окружности) лежат в плоскости $\alpha$ и проходят через точку $O$. Следовательно, отрезок $MO$ (как часть прямой $l$) перпендикулярен каждому из отрезков $OA_i$.

Это означает, что все треугольники $\triangle MOA_1, \triangle MOA_2, ..., \triangle MOA_n$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$ ($\angle MOA_i = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к каждому из этих прямоугольных треугольников. Для гипотенузы $MA_i$ любого такого треугольника $\triangle MOA_i$ справедливо равенство: $MA_i^2 = MO^2 + OA_i^2$

Проанализируем правую часть этого равенства. Катет $MO$ является общим для всех рассматриваемых треугольников. Катеты $OA_i$ равны между собой как радиусы одной и той же окружности ($OA_i = R$). Таким образом, для любой вершины $A_i$ мы можем записать: $MA_i^2 = MO^2 + R^2$

Так как правая часть выражения ($MO^2 + R^2$) является постоянной величиной для всех вершин, то и левые части этих равенств равны между собой: $MA_1^2 = MA_2^2 = ... = MA_n^2$.

Поскольку длина отрезка — это положительная величина, из равенства квадратов длин следует и равенство самих длин: $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Таким образом, мы доказали, что любая точка $M$, лежащая на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех вершин этого многоугольника.

Ответ: Утверждение доказано.