Номер 11.16, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.16. Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, большую проекцию имеет большая наклонная.

Доказательство

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведем из точки $A$ две наклонные $AB$ и $AC$ к плоскости $\alpha$, где $B$ и $C$ – точки пересечения наклонных с плоскостью. Также опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются ортогональными проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle AHC = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с общим катетом $AH$.

По теореме Пифагора для этих треугольников можно записать следующие равенства:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

Выразим из этих формул квадраты длин проекций:

$HB^2 = AB^2 - AH^2$

$HC^2 = AC^2 - AH^2$

Предположим, что одна из наклонных больше другой, например, $AB > AC$. Поскольку длины отрезков являются положительными числами, то из этого неравенства следует, что $AB^2 > AC^2$.

Сравним выражения для квадратов проекций. Вычтем из обеих частей неравенства $AB^2 > AC^2$ одинаковую величину $AH^2$:

$AB^2 - AH^2 > AC^2 - AH^2$

Подставив левые части этого неравенства, получим:

$HB^2 > HC^2$

Так как длины проекций $HB$ и $HC$ также являются положительными величинами, то извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства, мы сохраняем его знак:

$HB > HC$

Таким образом, мы доказали, что если наклонная $AB$ больше наклонной $AC$, то и ее проекция $HB$ больше проекции $HC$. То есть, из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, большей наклонной соответствует большая проекция.

Ответ: Что и требовалось доказать.