Номер 11.10, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.10. Расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 4 см. Прямые $m$ и $n$ скрещивающиеся, $m \subset \alpha$, $n \subset \beta$. Чему равно расстояние между прямыми $m$ и $n$?

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен обеим прямым.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, расстояние между которыми равно 4 см. Прямая $ m $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ m \subset \alpha $), а прямая $ n $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ n \subset \beta $). Прямые $ m $ и $ n $ являются скрещивающимися.

Рассмотрим ортогональную проекцию прямой $ m $ на плоскость $ \beta $. Пусть эта проекция — прямая $ m' $. Поскольку плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, то проекция $ m' $ будет параллельна прямой $ m $ ($ m' \parallel m $). Прямая $ m' $ лежит в плоскости $ \beta $.

Теперь в плоскости $ \beta $ лежат две прямые: $ n $ и $ m' $.Так как по условию прямые $ m $ и $ n $ скрещиваются, они не параллельны.Поскольку $ m' \parallel m $, то прямая $ m' $ также не параллельна прямой $ n $.

Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Следовательно, прямые $ m' $ и $ n $ пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $ Q_0 $.

Точка $ Q_0 $ принадлежит прямой $ n $ ($ Q_0 \in n $) и прямой $ m' $ ($ Q_0 \in m' $).Так как $ m' $ — это ортогональная проекция прямой $ m $ на плоскость $ \beta $, то для точки $ Q_0 \in m' $ существует единственная точка $ P_0 \in m $, для которой $ Q_0 $ является ортогональной проекцией.

Отрезок $ P_0Q_0 $ по определению ортогональной проекции между параллельными плоскостями перпендикулярен обеим плоскостям: $ P_0Q_0 \perp \alpha $ и $ P_0Q_0 \perp \beta $.Длина этого отрезка равна расстоянию между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, то есть $|P_0Q_0| = 4$ см.

Теперь докажем, что отрезок $ P_0Q_0 $ является общим перпендикуляром к прямым $ m $ и $ n $:

1. Точка $ P_0 $ лежит на прямой $ m $, а точка $ Q_0 $ — на прямой $ n $.
2. Так как $ P_0Q_0 \perp \alpha $ и прямая $ m $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ m \subset \alpha $), то $ P_0Q_0 \perp m $.
3. Так как $ P_0Q_0 \perp \beta $ и прямая $ n $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ n \subset \beta $), то $ P_0Q_0 \perp n $.

Следовательно, отрезок $ P_0Q_0 $ является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых $ m $ и $ n $. Расстояние между этими прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Таким образом, расстояние между прямыми $ m $ и $ n $ равно $|P_0Q_0|$, что составляет 4 см.

Ответ: 4 см.