Номер 11.11, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.11. Расстояние между скрещивающимися прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, равно 10 см.

Чему равно расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$?

Пусть даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Также даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ — в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ составляет 10 см. Требуется найти расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Обозначим расстояние между прямыми как $d(a, b)$, а расстояние между плоскостями как $d(\alpha, \beta)$. По условию, $d(a, b) = 10$ см.

Расстояние между двумя геометрическими объектами в пространстве — это наименьшее из расстояний между всевозможными парами точек, принадлежащих этим объектам.

Рассмотрим любую точку $M$ на прямой $a$ и любую точку $N$ на прямой $b$. Поскольку $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$, точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $N$ — плоскости $\beta$. Расстояние между параллельными плоскостями $d(\alpha, \beta)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую. Длина любого другого отрезка, соединяющего точки этих плоскостей, не может быть меньше этого расстояния. Следовательно, для любых точек $M \in \alpha$ и $N \in \beta$ выполняется неравенство $MN \ge d(\alpha, \beta)$.

Это неравенство верно и для точек, лежащих на прямых $a$ и $b$. Расстояние между прямыми $d(a, b)$ — это минимально возможная длина отрезка $MN$, где $M \in a$ и $N \in b$. Так как для всех таких отрезков $MN \ge d(\alpha, \beta)$, то и для самого короткого из них это будет верно. Таким образом, получаем первое соотношение: $d(a, b) \ge d(\alpha, \beta)$.

Теперь докажем обратное неравенство. Спроектируем ортогонально (перпендикулярно) прямую $a$ на плоскость $\beta$. Проекцией будет являться прямая $a'$, лежащая в плоскости $\beta$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они непараллельны. Проекция $a'$ будет параллельна прямой $a$, следовательно, прямые $a'$ и $b$ также непараллельны. Две непараллельные прямые $a'$ и $b$, лежащие в одной плоскости $\beta$, обязательно пересекутся в некоторой точке $N_0$.

Поскольку точка $N_0$ лежит на проекции $a'$, по определению проекции, существует точка $M_0$ на исходной прямой $a$ такая, что $N_0$ является ее ортогональной проекцией на плоскость $\beta$. Это означает, что отрезок $M_0N_0$ перпендикулярен плоскости $\beta$, и его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то есть $M_0N_0 = d(\alpha, \beta)$.

Мы нашли пару точек, $M_0 \in a$ и $N_0 \in b$, расстояние между которыми в точности равно расстоянию между плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми $d(a, b)$ по определению является наименьшим из всех возможных расстояний, поэтому оно не может быть больше, чем расстояние $M_0N_0$. Отсюда следует второе соотношение: $d(a, b) \le d(\alpha, \beta)$.

Из двух полученных неравенств, $d(a, b) \ge d(\alpha, \beta)$ и $d(a, b) \le d(\alpha, \beta)$, следует единственно возможный вывод: $d(a, b) = d(\alpha, \beta)$.

Поскольку по условию задачи расстояние между скрещивающимися прямыми равно 10 см, то и расстояние между содержащими их параллельными плоскостями также равно 10 см.

Ответ: 10 см.