Страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.50. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $SM$ и $CK$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми SM и CK воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке C. Направим ось Ox вдоль ребра CB, а ось Oz — вдоль ребра SC. Поскольку ребро SC перпендикулярно плоскости основания, ось Oz перпендикулярна плоскости Oxy, в которой лежит основание пирамиды — треугольник ABC.

Найдем координаты вершин пирамиды и точек M и K:
1. Точка C — начало координат, ее координаты $C(0, 0, 0)$.
2. Точка S лежит на оси Oz, и по условию $SC = 2$ см. Следовательно, координаты точки $S(0, 0, 2)$.
3. Точка B лежит на оси Ox, и по условию сторона основания равна $4\sqrt{2}$ см, значит $BC = 4\sqrt{2}$. Координаты точки $B(4\sqrt{2}, 0, 0)$.
4. Точка M — середина ребра BC. Ее координаты равны полусумме координат точек B и C:$M\left(\frac{4\sqrt{2}+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2\sqrt{2}, 0, 0)$.
5. Основание ABC — равносторонний треугольник. Найдем координаты точки A. Высота треугольника, опущенная из A на сторону CB, будет иметь основание в середине отрезка CB. Проекция A на ось Ox будет в точке $x = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Длина высоты (координата по Oy) равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{6}$. Таким образом, $A(2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0)$.
6. Точка K — середина ребра AB. Найдем ее координаты:$K\left(\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}; \frac{0+2\sqrt{6}}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = K(3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)$.

Теперь найдем направляющие векторы прямых SM и CK:
- Для прямой SM: $\vec{s_1} = \vec{SM} = (2\sqrt{2}-0; 0-0; 0-2) = (2\sqrt{2}, 0, -2)$.
- Для прямой CK: $\vec{s_2} = \vec{CK} = (3\sqrt{2}-0; \sqrt{6}-0; 0-0) = (3\sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле:$d = \frac{|(\vec{P_2P_1}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$,где $(\vec{P_2P_1}, \vec{s_1}, \vec{s_2})$ — смешанное произведение векторов.В нашем случае $P_1$ — это точка S на прямой SM, а $P_2$ — точка C на прямой CK. Возьмем вектор, соединяющий эти точки, $\vec{p} = \vec{CS} = (0, 0, 2)$.

1. Найдем векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:
$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2\sqrt{2} & 0 & -2 \\ 3\sqrt{2} & \sqrt{6} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-2) \cdot \sqrt{6}) - \vec{j}(2\sqrt{2} \cdot 0 - (-2) \cdot 3\sqrt{2}) + \vec{k}(2\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} - 0 \cdot 3\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}\vec{i} - 6\sqrt{2}\vec{j} + 2\sqrt{12}\vec{k} = (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3})$.

2. Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (-6\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{24 + 72 + 48} = \sqrt{144} = 12$.

3. Найдем смешанное произведение векторов $\vec{p}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:
$(\vec{p}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) = \vec{p} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (0, 0, 2) \cdot (2\sqrt{6}, -6\sqrt{2}, 4\sqrt{3}) = 0 \cdot 2\sqrt{6} + 0 \cdot (-6\sqrt{2}) + 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

4. Вычислим искомое расстояние:
$d = \frac{|(\vec{p}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|} = \frac{|8\sqrt{3}|}{12} = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

11.51. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости $ABC$. Грань $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты $AC$ и $BC$ которого равны 4 см. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $DM$ и $CN$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Учитывая, что ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, удобно расположить начало координат в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $CB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $CD$.

В этой системе координат, исходя из данных задачи ($AC=4$ см, $BC=4$ см, $DC=2$ см), определим координаты вершин тетраэдра:

• $C(0; 0; 0)$
• $A(4; 0; 0)$
• $B(0; 4; 0)$
• $D(0; 0; 2)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$.

Точка $M$ — середина ребра $AC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $C$:

$M\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2; 0; 0)$.

Точка $N$ — середина ребра $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$:

$N\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N(2; 2; 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $DM$ и $CN$ будем искать с помощью векторов. Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.

Направляющий вектор прямой $DM$, обозначим его $\vec{s_1}$, можно найти как вектор $\vec{DM}$:

$\vec{s_1} = \vec{DM} = \{x_M - x_D; y_M - y_D; z_M - z_D\} = \{2 - 0; 0 - 0; 0 - 2\} = \{2; 0; -2\}$.

Направляющий вектор прямой $CN$, обозначим его $\vec{s_2}$, можно найти как вектор $\vec{CN}$:

$\vec{s_2} = \vec{CN} = \{x_N - x_C; y_N - y_C; z_N - z_C\} = \{2 - 0; 2 - 0; 0 - 0\} = \{2; 2; 0\}$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{s_1} \times \vec{s_2}) \cdot \vec{P_2P_1}|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

В нашем случае в качестве точек на прямых возьмем $P_1 = D(0; 0; 2)$ и $P_2 = C(0; 0; 0)$. Тогда вектор, соединяющий прямые, $\vec{P_2P_1} = \vec{CD} = \{0-0; 0-0; 2-0\} = \{0; 0; 2\}$.

Сначала найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = \{4; -4; 4\}$.

Далее найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Теперь вычислим смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{s_1} \times \vec{s_2}) \cdot \vec{CD} = \{4; -4; 4\} \cdot \{0; 0; 2\} = 4 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|8|}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

11.52. Основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Прямая $SO$ перпендикулярна плоскости ромба. Точка $K$ — середина ребра $SA$. Точка $X$ принадлежит прямой $DK$. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $AXC$, если $SO = 42$ см, $AC = 58$ см, $BD = 40$ см.

Площадь треугольника $AXC$ определяется формулой $S_{AXC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_X$, где $h_X$ — высота, проведенная из точки $X$ на прямую $AC$. Поскольку длина основания $AC$ является постоянной величиной ($AC = 58$ см), площадь треугольника будет наименьшей, когда его высота $h_X$ будет иметь наименьшее возможное значение. Высота $h_X$ — это расстояние от точки $X$ до прямой $AC$. Так как точка $X$ принадлежит прямой $DK$, задача сводится к нахождению наименьшего расстояния от точки на прямой $DK$ до прямой $AC$.

1. Введение системы координат
Для удобства вычислений введем трехмерную прямоугольную систему координат.

• Поместим начало координат в точку $O$ — точку пересечения диагоналей ромба $ABCD$.
• Ось $Ox$ направим вдоль прямой $AC$.
• Ось $Oy$ направим вдоль прямой $BD$.
• Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, оси координат $Ox$, $Oy$, $Oz$ будут взаимно перпендикулярны.

2. Определение координат ключевых точек
На основе данных из условия задачи найдем координаты необходимых точек.

• $O$ — начало координат, поэтому $O(0, 0, 0)$.
• Диагональ $AC = 58$ см, значит $OA = OC = \frac{58}{2} = 29$ см. Координаты вершин $A$ и $C$: $A(-29, 0, 0)$ и $C(29, 0, 0)$.
• Диагональ $BD = 40$ см, значит $OD = OB = \frac{40}{2} = 20$ см. Координаты вершины $D$: $D(0, 20, 0)$.
• Высота $SO = 42$ см. Координаты вершины $S$: $S(0, 0, 42)$.
• Точка $K$ — середина ребра $SA$. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $S$ и $A$: $K\left(\frac{-29+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+42}{2}\right) = K(-14.5, 0, 21)$.

3. Нахождение наименьшего расстояния от точки X до прямой AC
Прямая $AC$ в нашей системе координат совпадает с осью $Ox$. Расстояние от произвольной точки $X(x_X, y_X, z_X)$ до оси $Ox$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_X^2 + z_X^2}$. Нам нужно найти такое положение точки $X$ на прямой $DK$, при котором это расстояние будет минимальным.

Это расстояние геометрически равно расстоянию от начала координат $O$ до проекции точки $X$ на плоскость $yz$. Следовательно, чтобы найти минимальное расстояние от точки $X$ на прямой $DK$ до прямой $AC$, нужно найти минимальное расстояние от начала координат $O$ до проекции прямой $DK$ на плоскость $yz$.

Найдем проекции точек $D$ и $K$ на плоскость $yz$ (обнулив их $x$-координаты):

• Проекция точки $D(0, 20, 0)$ есть точка $D'(0, 20, 0)$.
• Проекция точки $K(-14.5, 0, 21)$ есть точка $K'(0, 0, 21)$.

Теперь задача сводится к двумерной: найти в плоскости $yz$ расстояние от начала координат $O(0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D'(20, 0)$ и $K'(0, 21)$ (рассматривая их координаты как $(y, z)$).

Уравнение прямой в отрезках, проходящей через точки $(a, 0)$ и $(0, b)$, имеет вид $\frac{y}{a} + \frac{z}{b} = 1$. Для наших точек $D'(20, 0)$ и $K'(0, 21)$ получаем: $\frac{y}{20} + \frac{z}{21} = 1$

Приведем уравнение к общему виду $Ay + Bz + C = 0$: $21y + 20z = 420$ $21y + 20z - 420 = 0$

Расстояние от точки $(y_0, z_0)$ до прямой $Ay + Bz + C = 0$ находится по формуле $h = \frac{|Ay_0 + Bz_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Искомое минимальное расстояние $h_{min}$ — это расстояние от точки $O(0, 0)$ до этой прямой: $h_{min} = \frac{|21 \cdot 0 + 20 \cdot 0 - 420|}{\sqrt{21^2 + 20^2}} = \frac{420}{\sqrt{441 + 400}} = \frac{420}{\sqrt{841}}$

Поскольку $29^2 = 841$, то $\sqrt{841} = 29$. $h_{min} = \frac{420}{29}$ см.

4. Вычисление наименьшей площади треугольника AXC
Подставим найденное минимальное значение высоты $h_{min}$ в формулу для площади треугольника: $S_{min} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{min} = \frac{1}{2} \cdot 58 \cdot \frac{420}{29}$ $S_{min} = 29 \cdot \frac{420}{29} = 420$ см².

Ответ: 420 см².

11.53. Основания трапеции равны 2 см и 18 см. В эту трапецию вписана окружность, и вокруг этой трапеции описана окружность. Найдите радиусы окружностей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=a=2$ см и $AD=b=18$ см, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.

1. Так как вокруг трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$.

2. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин ее противоположных сторон равны:$a+b = c+c$$2+18 = 2c$$2c = 20$$c=10$ см.

Таким образом, имеем равнобедренную трапецию с основаниями 2 см и 18 см и боковыми сторонами по 10 см. Теперь найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h=2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, вычисляется как полуразность оснований:$AH = \frac{AD-BC}{2} = \frac{18-2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Окружность, описанная вокруг трапеции $ABCD$, является также описанной окружностью для треугольника $ABD$. Найдем радиус $R$ этой окружности.Для этого воспользуемся формулой $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Стороны треугольника $ABD$: $AB=10$ см, $AD=18$ см. Найдем длину диагонали $BD$.Из прямоугольного треугольника $BHD$, где $BH=h=6$ см, а катет $HD = AD - AH = 18 - 8 = 10$ см, по теореме Пифагора:$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$ см.

Площадь треугольника $ABD$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 54$ см$^2$.

Теперь можем найти радиус описанной окружности:$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 18 \cdot 2\sqrt{34}}{4 \cdot 54} = \frac{360\sqrt{34}}{216}$

Сократим дробь $\frac{360}{216}$ на 72: $\frac{360}{216} = \frac{5 \cdot 72}{3 \cdot 72} = \frac{5}{3}$.Следовательно, $R = \frac{5\sqrt{34}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{5\sqrt{34}}{3}$ см.

11.54. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 12 : 25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $12:25$, считая от вершины угла при основании. Возьмем вершину $C$ при основании $AC$. Точка касания на стороне $BC$ — это точка $N$. Таким образом, отношение отрезков $CN$ к $NB$ равно $12:25$.

$CN : NB = 12 : 25$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $CN = 12x$, а $NB = 25x$.

Длина боковой стороны $BC = CN + NB = 12x + 25x = 37x$.

Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = 37x$.

Используем свойство отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности: они равны между собой.

• Из вершины $C$: $CK = CN = 12x$.
• Из вершины $B$: $BM = BN = 25x$.
• Из вершины $A$: $AM = AK$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то и отрезки касательных из вершин при основании равны: $AK = CK = 12x$.

Теперь найдем длину основания $AC$:

$AC = AK + KC = 12x + 12x = 24x$.

Мы выразили все стороны треугольника через $x$: $AB=37x$, $BC=37x$, $AC=24x$.

Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

$p-AB = 49x - 37x = 12x$

$p-BC = 49x - 37x = 12x$

$p-AC = 49x - 24x = 25x$

$S = \sqrt{49x \cdot 12x \cdot 12x \cdot 25x} = \sqrt{49 \cdot 144 \cdot 25 \cdot x^4} = 7 \cdot 12 \cdot 5 \cdot x^2 = 420x^2$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$. Составим и решим уравнение:

$420x^2 = 1680$

$x^2 = \frac{1680}{420}$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как длина отрезка - величина положительная).

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = 49x = 49 \cdot 2 = 98 \text{ см}$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $S = p \cdot r$.

Отсюда $r = \frac{S}{p}$.

$r = \frac{1680}{98} = \frac{840}{49} = \frac{120}{7} \text{ см}$.

Ответ: $ \frac{120}{7} \text{ см}$.