Страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.37. Стороны $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ равны 20 см и $5\sqrt{3}$ см. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Проекции отрезков $AC$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ равны 18 см и 24 см соответственно. Найдите расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Из условия задачи имеем: $AB = 20$ см, $BC = 5\sqrt{3}$ см. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $CD \parallel AB$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $CD$ параллельна прямой $AB$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $h$. Пусть $C'$ — ортогональная проекция точки $C$ на плоскость $\alpha$, а $D'$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $h = CC' = DD'$.

Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции на эту плоскость совпадают с самими точками. Проекцией наклонной $AC$ (диагонали параллелограмма) на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC'$. По условию, $AC' = 18$ см. Проекцией наклонной $BD$ (второй диагонали) на плоскость $\alpha$ является отрезок $BD'$. По условию, $BD' = 24$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC'$, где $\angle AC'C = 90^\circ$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = (AC')^2 + (CC')^2$ $AC^2 = 18^2 + h^2 = 324 + h^2$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDD'$, где $\angle BD'D = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $BD^2 = (BD')^2 + (DD')^2$ $BD^2 = 24^2 + h^2 = 576 + h^2$

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$ Подставим известные длины сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(20^2 + (5\sqrt{3})^2) = 2(400 + 25 \cdot 3) = 2(400 + 75) = 2 \cdot 475 = 950$

Теперь объединим полученные результаты. Подставим выражения для $AC^2$ и $BD^2$ в свойство параллелограмма: $(324 + h^2) + (576 + h^2) = 950$ $900 + 2h^2 = 950$ $2h^2 = 950 - 900$ $2h^2 = 50$ $h^2 = 25$ Поскольку $h$ — это расстояние, оно должно быть положительным: $h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

11.38. Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точки $B_1$ и $C_1$ являются соответственно проекциями точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Известно, что $BB_1 = 8$ см, $AB = 17$ см, $B_1D = 24$ см, $C_1A = 12$ см. Найдите отрезок $AD$.

Поскольку точки $B_1$ и $C_1$ являются проекциями точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$, то отрезки $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $BB_1$ и $AB_1$.

Найдем длину проекции $AB_1$ стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ по теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 - BB_1^2$
$AB_1 = \sqrt{AB^2 - BB_1^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$, который является проекцией параллелограмма $ABCD$ на плоскость $\alpha$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Поскольку сторона $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что все точки прямой $BC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, $CC_1 = BB_1 = 8$ см.

Покажем, что проекция $AB_1C_1D$ также является параллелограммом. Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому его проекция на эту плоскость совпадает с ним самим. Вектор $\vec{B_1C_1}$ является проекцией вектора $\vec{BC}$ на плоскость $\alpha$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$ (свойство параллелограмма) и $\vec{BC} \parallel \alpha$, то проекция вектора $\vec{BC}$ на плоскость $\alpha$ равна самому вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$. Таким образом, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$, что доказывает, что $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $AB_1C_1D$ диагоналями являются отрезки $AC_1$ и $B_1D$. Стороны равны $AD$, $B_1C_1$, $AB_1$ и $DC_1$. Так как $AB_1C_1D$ — параллелограмм, то $AD = B_1C_1$ и $AB_1 = DC_1$.

Запишем свойство для нашего случая:
$AC_1^2 + B_1D^2 = 2(AD^2 + AB_1^2)$

Подставим известные значения в формулу:
$12^2 + 24^2 = 2(AD^2 + 15^2)$
$144 + 576 = 2(AD^2 + 225)$
$720 = 2(AD^2 + 225)$
$360 = AD^2 + 225$
$AD^2 = 360 - 225$
$AD^2 = 135$
$AD = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Ответ: $3\sqrt{15}$ см.

11.39. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $C_1D_1$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMD$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁.

В этой системе координат основные точки будут иметь следующие координаты:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, a)$
• $C_1(0, a, a)$

Точка M — середина ребра $C_1D_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат концов отрезка:

$M = \left(\frac{x_{C_1}+x_{D_1}}{2}, \frac{y_{C_1}+y_{D_1}}{2}, \frac{z_{C_1}+z_{D_1}}{2}\right) = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки A, M и D. Поскольку плоскость проходит через начало координат D(0, 0, 0), ее уравнение имеет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Для нахождения коэффициентов A, B, C найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости, например $\vec{DA}$ и $\vec{DM}$. Вычислим $\vec{n}$ как их векторное произведение.

Найдем координаты векторов, исходящих из точки D:

$\vec{DA} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{DM} = (0-0, \frac{a}{2}-0, a-0) = (0, \frac{a}{2}, a)$

Векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DA} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a}{2} & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot \frac{a}{2}) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, \frac{a^2}{2})$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный ему вектор. Умножим полученный вектор на $\frac{2}{a^2}$ (при $a \neq 0$), чтобы упростить его: $\vec{n'} = (0, -2, 1)$.

Уравнение плоскости AMD, проходящей через точку D(0,0,0) с вектором нормали $\vec{n'} = (0, -2, 1)$, имеет вид:

$0(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$

$-2y + z = 0$

Искомое расстояние — это расстояние от точки $D_1(0, 0, a)$ до плоскости $-2y + z = 0$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим координаты точки $D_1$ и коэффициенты уравнения плоскости ($A=0, B=-2, C=1, D=0$):

$d = \frac{|0 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot a|}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{4+1}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{5}}{5}$

11.40. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $K$ — середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $CBK$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $x$ вдоль ребра $AD$, ось $y$ вдоль ребра $AB$ и ось $z$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба и точка $K$ имеют следующие координаты, учитывая, что длина ребра куба равна $a$:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, a, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(0, a, a)$

Точка $K$ является серединой ребра $AA_1$, поэтому ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:

$K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = K\left(0, 0, \frac{a}{2}\right)$

Далее найдем уравнение плоскости $CBK$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax + By + Cz + D = 0$. Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ можно вычислить векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BK}$, лежащих в этой плоскости. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{BC} = C - B = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{BK} = K - B = (0-0, 0-a, \frac{a}{2}-0) = (0, -a, \frac{a}{2})$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ будет коллинеарен векторному произведению $\vec{BC} \times \vec{BK}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = (0, -\frac{a^2}{2}, -a^2)$

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Умножим полученный вектор на $-\frac{2}{a^2}$ для упрощения:

$\vec{n'} = (0, 1, 2)$.

Таким образом, уравнение плоскости $CBK$ имеет вид $0 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z + D = 0$, то есть $y + 2z + D = 0$. Для нахождения коэффициента $D$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(0, a, 0)$:

$a + 2 \cdot 0 + D = 0 \implies D = -a$

Итак, уравнение плоскости $CBK$: $y + 2z - a = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B_1(0, a, a)$ до плоскости $y + 2z - a = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем координаты точки $B_1$ и коэффициенты уравнения плоскости:

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot a + 2 \cdot a - a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|a + 2a - a|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|2a|}{\sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

11.41. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Найдите расстояние между прямыми $B_1D$ и $AC$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $B_1D$ и $AC$ воспользуемся геометрическим методом. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

1. Рассмотрим плоскость диагонального сечения куба $BDD_1B_1$.
Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, следовательно, $BB_1 \perp AC$.
Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$), лежащим в плоскости $BDD_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

2. Прямая $B_1D$ (пространственная диагональ куба) полностью лежит в плоскости $BDD_1B_1$, так как точки $B_1$ и $D$ принадлежат этой плоскости.

3. Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$, содержащей прямую $B_1D$, то общий перпендикуляр к прямым $AC$ и $B_1D$ будет лежать в плоскости $BDD_1B_1$. Один конец этого перпендикуляра будет точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $BDD_1B_1$, а другой — основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую $B_1D$.

4. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в основании куба. Эта точка $O$ и является точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $BDD_1B_1$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $B_1D$ в плоскости $BDD_1B_1$.

5. Рассмотрим сечение $BDD_1B_1$. Это прямоугольник, так как рёбра $DD_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости основания, а значит, и прямой $BD$.
Стороны этого прямоугольника: ребро $DD_1 = 1$ см и диагональ основания $BD$.
Длину $BD$ найдем по теореме Пифагора для треугольника $ABD$:$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

6. В прямоугольнике $BDD_1B_1$ нам нужно найти расстояние от точки $O$ (середины стороны $BD$) до диагонали $B_1D$. Для этого рассмотрим треугольник $D B_1 B$. Он прямоугольный ($ \angle DBB_1 = 90^\circ $). Точка O лежит на катете DB. Нет, рассмотрим треугольник $D D_1 B_1$. Он прямоугольный. Лучше рассмотрим треугольник $O D B_1$. Найдем его площадь двумя способами.
Длина отрезка $DO$ равна половине длины $BD$: $DO = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

7. Найдем площадь треугольника $ODB_1$. За основание примем сторону $DO$, которая лежит на прямой $DB$. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на прямую $DB$, будет отрезок $B_1B$ (или $D_1D$), длина которого равна 1 см.$S_{ODB_1} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot B_1B = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

8. С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $DB_1$ и высоту $OH$, опущенную из точки $O$ на $DB_1$. Длина $OH$ и есть искомое расстояние.
Длину $DB_1$ (пространственная диагональ куба) найдем из прямоугольного треугольника $BDD_1$:$DB_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ см.
Площадь треугольника $ODB_1$:$S_{ODB_1} = \frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH$.

9. Приравняем два выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{2}$$OH = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

11.42. Длина каждого ребра тетраэдра $DABC$ равна 1 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Поскольку все рёбра тетраэдра $DABC$ равны 1 см, этот тетраэдр является правильным. Все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1 см. Требуется найти расстояние между скрещивающимися рёбрами $AB$ и $CD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Пусть точка $M$ — середина ребра $AB$, а точка $N$ — середина ребра $CD$. Построим отрезок $MN$ и докажем, что он является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

Рассмотрим грань $ABC$. Это равносторонний треугольник. Отрезок $CM$ является в нём медианой, проведённой к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $CM \perp AB$. Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a=1$ см, получаем $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Это также равносторонний треугольник. Отрезок $DM$ является в нём медианой к стороне $AB$, а значит и высотой. Следовательно, $DM \perp AB$ и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CM$ и $DM$ в плоскости $CDM$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $CDM$. Отрезок $MN$ лежит в этой плоскости, следовательно, $MN \perp AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDM$. Мы знаем длины его сторон: $CD = 1$ см, $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Так как $CM = DM$, треугольник $CDM$ является равнобедренным с основанием $CD$. Точка $N$ — середина основания $CD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp CD$.

Мы доказали, что отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $AB$, так и прямой $CD$. Таким образом, длина отрезка $MN$ является искомым расстоянием.

Найдём длину $MN$ из прямоугольного треугольника $CMN$ (или $DMN$), используя теорему Пифагора. В треугольнике $CMN$ гипотенузой является $CM$, а катетами — $MN$ и $CN$. Длина катета $CN$ равна половине длины ребра $CD$: $CN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}$ см.

$CM^2 = MN^2 + CN^2$

$MN^2 = CM^2 - CN^2$

$MN^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

11.43. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ такова, что $OM = 1$ см. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Пусть $d_A, d_B, d_C, d_D$ — расстояния от вершин параллелограмма $A, B, C, D$ до плоскости $\alpha$, а $d_O$ — расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до той же плоскости.

По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей $O$ является серединой каждой из диагоналей, то есть $O$ — середина отрезков $AC$ и $BD$.

Поскольку плоскость $\alpha$ не имеет общих точек с параллелограммом, все его вершины находятся по одну сторону от этой плоскости.

Рассмотрим отрезок $AC$. Расстояние от его середины $O$ до плоскости $\alpha$ равно среднему арифметическому расстояний от его концов $A$ и $C$ до этой же плоскости. Это следует из свойства средней линии трапеции, образованной перпендикулярами, опущенными из точек $A, O, C$ на плоскость $\alpha$.

$d_O = \frac{d_A + d_C}{2}$

Отсюда следует, что сумма расстояний от вершин $A$ и $C$ равна:

$d_A + d_C = 2d_O$

Аналогично для диагонали $BD$ и ее середины $O$:

$d_O = \frac{d_B + d_D}{2}$

Отсюда сумма расстояний от вершин $B$ и $D$ равна:

$d_B + d_D = 2d_O$

Сумма расстояний от всех вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ будет равна:

$S = d_A + d_B + d_C + d_D = (d_A + d_C) + (d_B + d_D) = 2d_O + 2d_O = 4d_O$

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ ($d_O$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $OM$ — это наклонная, проведенная из точки $O$ к плоскости $\alpha$ (поскольку точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$). Длина перпендикуляра не может быть больше длины наклонной, проведенной из той же точки. Следовательно:

$d_O \le OM$

По условию $OM = 1$ см, значит:

$d_O \le 1$ см

Теперь подставим это неравенство в выражение для суммы расстояний:

$S = 4d_O \le 4 \cdot 1 = 4$ см

Таким образом, доказано, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Ответ: Утверждение доказано.

11.44. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ A $ и $ C $ принадлежат плоскости $ \alpha $, а точки $ B $ и $ D $ — плоскости $ \beta $. Известно, что $ AB \perp \alpha $, $ BD = 20 $ см, $ AC = 13 $ см, $ CD = 35 $ см, а расстояние между прямыми $ AB $ и $ CD $ равно $ 12 $ см. Найдите расстояние между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AB \perp \alpha$), а точка $A$ лежит в $\alpha$ и точка $B$ лежит в $\beta$, то длина отрезка $AB$ и есть расстояние между плоскостями. Таким образом, $h = AB$.

Рассмотрим ортогональную проекцию пространственной фигуры на плоскость $\beta$.Точка $A$ из плоскости $\alpha$ проецируется в точку $B$ из плоскости $\beta$, так как $AB \perp \beta$ (поскольку $AB \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$).Точка $C$ из плоскости $\alpha$ проецируется в некоторую точку $C'$ в плоскости $\beta$. При этом отрезок $CC'$ перпендикулярен плоскости $\beta$ и его длина равна расстоянию между плоскостями, то есть $CC' = h$.Фигура $AB C'C$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CC'$ (оба перпендикулярны $\beta$) и $AB = CC' = h$. Следовательно, длина проекции отрезка $AC$ на плоскость $\beta$, то есть отрезка $BC'$, равна длине самого отрезка $AC$.$BC' = AC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC'D$. В нем катет $CC' = h$, гипотенуза $CD = 35$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $C'D$, который является проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\beta$:$CD^2 = CC'^2 + C'D^2$$35^2 = h^2 + C'D^2$$C'D^2 = 1225 - h^2$

Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Это скрещивающиеся прямые. Расстояние между ними равно 12 см.Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то расстояние от любой точки прямой $AB$ (например, от точки $B$) до плоскости, проходящей через $CD$ и параллельной $AB$, будет равно расстоянию между прямыми. Такая плоскость будет перпендикулярна плоскости $\beta$, а ее линия пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $C'D$.Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $C'D$ в плоскости $\beta$ равно 12 см. Это расстояние является высотой $BH$ треугольника $\triangle BC'D$, проведенной из вершины $B$ к стороне $C'D$. Итак, $BH = 12$ см.

В плоскости $\beta$ у нас есть треугольник $\triangle BC'D$ со сторонами $BC' = 13$ см, $BD = 20$ см и высотой $BH = 12$ см.Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных этой высотой: $\triangle BHC'$ и $\triangle BHD$.В $\triangle BHC'$ по теореме Пифагора:$HC'^2 = BC'^2 - BH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$HC' = \sqrt{25} = 5$ см.В $\triangle BHD$ по теореме Пифагора:$HD^2 = BD^2 - BH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$HD = \sqrt{256} = 16$ см.

Длина стороны $C'D$ зависит от расположения точки $H$ (основания высоты) на прямой $C'D$. Возможны два случая:

Случай 1: Точка $H$ лежит между точками $C'$ и $D$.В этом случае длина стороны $C'D$ равна сумме длин отрезков $HC'$ и $HD$:$C'D = HC' + HD = 5 + 16 = 21$ см.Теперь подставим это значение в ранее полученное уравнение $C'D^2 = 1225 - h^2$:$21^2 = 1225 - h^2$$441 = 1225 - h^2$$h^2 = 1225 - 441 = 784$$h = \sqrt{784} = 28$ см.

Случай 2: Точка $C'$ лежит между точками $H$ и $D$ (или $D$ между $H$ и $C'$).В этом случае длина стороны $C'D$ равна модулю разности длин отрезков $HD$ и $HC'$:$C'D = |HD - HC'| = |16 - 5| = 11$ см.Подставим это значение в уравнение $C'D^2 = 1225 - h^2$:$11^2 = 1225 - h^2$$121 = 1225 - h^2$$h^2 = 1225 - 121 = 1104$$h = \sqrt{1104} = \sqrt{16 \cdot 69} = 4\sqrt{69}$ см.

Оба случая приводят к геометрически возможным конфигурациям. Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 28 см или $4\sqrt{69}$ см.

11.45. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ M $ и $ K $ принадлежат плоскости $ \alpha $, а точки $ N $ и $ F $ — плоскости $ \beta $. Известно, что $ MN \perp \beta $, $ MN = 12 $ см, $ MK = 4 $ см, $ NF = 3 $ см, $ KF = 13 $ см. Найдите расстояние между прямыми $ MN $ и $ KF $.

1. Анализ геометрической конфигурации и выбор метода решения.

По условию даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $N$ и $F$ — в плоскости $\beta$. Прямые $MN$ и $KF$ являются скрещивающимися, поскольку их точки лежат в разных параллельных плоскостях, и они не параллельны.

Нам известно, что прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($MN \perp \beta$). Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, прямая $MN$ также перпендикулярна и плоскости $\alpha$. Таким образом, длина отрезка $MN$ является расстоянием между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, и $MN = 12$ см.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $MN$ и $KF$ удобно использовать метод ортогонального проецирования на одну из плоскостей. Так как прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $\beta$, спроецируем всю конструкцию на плоскость $\beta$.

2. Построение проекций на плоскость $\beta$.

Проекцией прямой $MN$ на плоскость $\beta$ будет точка $N$, так как $M$ проецируется в $N$.

Проекцией прямой $KF$ на плоскость $\beta$ будет прямая $K'F$, где $K'$ — ортогональная проекция точки $K$ на плоскость $\beta$. Точка $F$ уже лежит в плоскости $\beta$, поэтому она проецируется сама в себя.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $MN$ и $KF$ в данном случае будет равно расстоянию от проекции прямой $MN$ (точки $N$) до проекции прямой $KF$ (прямой $K'F$) в плоскости $\beta$.

3. Вычисление длин проекций.

Рассмотрим четырехугольник $MNK'K$. Отрезок $KK'$ — это перпендикуляр из точки $K$ к плоскости $\beta$, поэтому его длина равна расстоянию между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $KK' = MN = 12$ см. Так как $MN \perp \beta$ и $KK' \perp \beta$, то $MN \parallel KK'$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны ($MN \parallel KK'$, $MN = KK'$), является параллелограммом. А поскольку $MN \perp NK'$ (так как $MN$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\beta$), этот параллелограмм является прямоугольником. Из этого следует, что $NK' = MK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $K'F$. Рассмотрим треугольник $\triangle KK'F$. Так как $KK' \perp \beta$, то $KK'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $K'F$. Следовательно, $\triangle KK'F$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K'$. По теореме Пифагора:

$KF^2 = KK'^2 + K'F^2$

Подставим известные значения: $KF = 13$ см и $KK' = 12$ см.

$13^2 = 12^2 + K'F^2$

$169 = 144 + K'F^2$

$K'F^2 = 169 - 144 = 25$

$K'F = \sqrt{25} = 5$ см.

4. Нахождение искомого расстояния.

Теперь у нас есть все стороны треугольника $\triangle NK'F$, лежащего в плоскости $\beta$: $NF = 3$ см, $NK' = 4$ см, $K'F = 5$ см.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:

$NF^2 + NK'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$K'F^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $NF^2 + NK'^2 = K'F^2$, по обратной теореме Пифагора $\triangle NK'F$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $N$.

Искомое расстояние — это расстояние от точки $N$ до прямой $K'F$, то есть длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $N$ на гипотенузу $K'F$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot NF \cdot NK'$

$S = \frac{1}{2} \cdot K'F \cdot h$

Приравнивая выражения, получаем:

$NF \cdot NK' = K'F \cdot h$

$3 \cdot 4 = 5 \cdot h$

$12 = 5h$

$h = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $2.4$ см.

11.46. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AD = AA_1 = 2$ см, $AB = 4$ см. Найдите расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $DA_1$ и $CD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек. Учитывая, что $AD = 2$ см, $AA_1 = 2$ см, $AB = 4$ см, получаем:

$D(0, 0, 0)$

$A(0, 2, 0)$

$C(4, 0, 0)$ (так как $DC = AB = 4$)

$D_1(0, 0, 2)$ (так как $DD_1 = AA_1 = 2$)

$A_1(0, 2, 2)$

Прямая $DA_1$ проходит через точку $D(0, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{DA_1} = (0-0, 2-0, 2-0) = (0, 2, 2)$.

Прямая $CD_1$ проходит через точку $C(4, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (0-4, 0-0, 2-0) = (-4, 0, 2)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$ и $M_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

В нашем случае $M_1$ — это точка $D(0,0,0)$ на прямой $DA_1$, а $M_2$ — это точка $C(4,0,0)$ на прямой $CD_1$. Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{M_1M_2} = \vec{DC} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot (-4)) = 4\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (4, -8, 8)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{4^2 + (-8)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12$.

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{DC}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$), которое стоит в числителе формулы:

$\vec{DC} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (4, 0, 0) \cdot (4, -8, 8) = 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-8) + 0 \cdot 8 = 16$.

Подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|16|}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$ равно $\frac{4}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4}{3}$ см.

11.47. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, равно $a$. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$. Найдите расстояние между прямыми $DA_1$ и $MD_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $DA_1$ и $MD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба. Направим оси координат вдоль ребер:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $DA$
• Ось $Oy$ вдоль ребра $DC$
• Ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин и точек, необходимых для решения, будут следующими:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, a)$
• $A_1(a, 0, a)$
• $C_1(0, a, a)$

Точка $M$ является серединой ребра $CC_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $C$ и $C_1$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = (0, a, a/2)$

Теперь определим направляющие векторы для прямых $DA_1$ и $MD_1$.

Прямая $DA_1$ проходит через точку $D(0,0,0)$. Ее направляющим вектором является вектор $\vec{v_1} = \vec{DA_1}$:

$\vec{v_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

Прямая $MD_1$ проходит через точку $M(0, a, a/2)$. Ее направляющим вектором является вектор $\vec{v_2} = \vec{MD_1}$:

$\vec{v_2} = (0-0, 0-a, a - a/2) = (0, -a, a/2)$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($P_1, \vec{v_1}$) и ($P_2, \vec{v_2}$), можно найти по формуле, использующей смешанное произведение векторов:

$d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P_1P_2}|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

В нашем случае в качестве точек $P_1$ и $P_2$ можно взять точки $D$ и $M$. Тогда вектор, соединяющий прямые, $\vec{P_1P_2} = \vec{DM} = (0, a, a/2)$.

Сначала найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & -a & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a/2 - a \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a/2 - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = a^2\mathbf{i} - \frac{a^2}{2}\mathbf{j} - a^2\mathbf{k}$

Координаты этого вектора: $(a^2, -\frac{a^2}{2}, -a^2)$.

Теперь найдем модуль этого векторного произведения (знаменатель формулы):

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(a^2)^2 + (-\frac{a^2}{2})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + \frac{a^4}{4} + a^4} = \sqrt{\frac{4a^4+a^4+4a^4}{4}} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}$

Далее вычислим модуль смешанного произведения (числитель формулы):

$|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{DM}| = |(a^2, -\frac{a^2}{2}, -a^2) \cdot (0, a, a/2)| = |a^2 \cdot 0 + (-\frac{a^2}{2}) \cdot a + (-a^2) \cdot \frac{a}{2}| = |0 - \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{2}| = |-a^3| = a^3$

Наконец, найдем искомое расстояние $d$:

$d = \frac{a^3}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$

Ответ: $\frac{2a}{3}$

11.48. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $DM$, если $BD = 3$ см, $AC = 12$ см, $AB = BC = 10$ см.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AC и DM воспользуемся методом, в котором искомое расстояние находится как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Пусть K — середина ребра AB. Поскольку M — середина BC, отрезок MK является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, $MK || AC$.

Рассмотрим плоскость (DMK). Эта плоскость проходит через прямую DM и содержит прямую MK, параллельную AC. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость (DMK) параллельна прямой AC.

Расстояние между скрещивающимися прямыми AC и DM равно расстоянию от любой точки прямой AC до плоскости (DMK). Вычислим это расстояние, найдя высоту тетраэдра CDMK, опущенную из вершины C на основание DMK. Обозначим это расстояние как $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся методом объемов. Объем тетраэдра CDMK можно выразить двумя способами:

1. $V = \frac{1}{3} S_{\triangle DMK} \cdot h$

2. $V = \frac{1}{3} S_{\triangle CKM} \cdot H$, где H — высота, опущенная из вершины D на плоскость (CKM). Так как плоскость (CKM) является частью плоскости (ABC), а по условию ребро $DB \perp (ABC)$, то высота $H$ равна длине ребра DB, то есть $H = DB = 3$ см.

Приравнивая оба выражения для объема, получаем: $S_{\triangle DMK} \cdot h = S_{\triangle CKM} \cdot DB$, откуда $h = \frac{S_{\triangle CKM} \cdot DB}{S_{\triangle DMK}}$.

Найдем площади треугольников CKM и DMK.

1. Вычисление площади $S_{\triangle CKM}$.

Треугольник ABC — равнобедренный с боковыми сторонами $AB = BC = 10$ см и основанием $AC = 12$ см. Проведем высоту BH к основанию AC. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, BH также является медианой, и $HC = AC/2 = 6$ см. Из прямоугольного треугольника BHC по теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника ABC:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Так как K — середина AB, медиана CK делит $\triangle ABC$ на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle CBK$:

$S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см².

В треугольнике CBK отрезок KM является медианой (M — середина BC). Следовательно, KM делит $\triangle CBK$ на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle CKM$:

$S_{\triangle CKM} = \frac{1}{2} S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см².

2. Вычисление площади $S_{\triangle DMK}$.

Найдем длины сторон треугольника DMK.

• $MK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см (как средняя линия).
• В $\triangle DBM$, который является прямоугольным ($DB \perp BC$), $BM = BC/2 = 5$ см. По теореме Пифагора: $DM^2 = DB^2 + BM^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. $DM = \sqrt{34}$ см.
• В $\triangle DBK$, который является прямоугольным ($DB \perp AB$), $BK = AB/2 = 5$ см. По теореме Пифагора: $DK^2 = DB^2 + BK^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. $DK = \sqrt{34}$ см.

Треугольник DMK — равнобедренный со сторонами $DM = DK = \sqrt{34}$ см и основанием $MK = 6$ см. Проведем высоту DP к основанию MK. DP также является медианой, поэтому $PK = MK/2 = 3$ см. Из прямоугольного треугольника DPK:

$DP = \sqrt{DK^2 - PK^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь треугольника DMK:

$S_{\triangle DMK} = \frac{1}{2} MK \cdot DP = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ см².

3. Нахождение расстояния.

Подставим найденные значения в формулу для $h$:

$h = \frac{S_{\triangle CKM} \cdot DB}{S_{\triangle DMK}} = \frac{12 \cdot 3}{15} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.

11.49. Ребро $SA$ пирамиды $SABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $SK$ и $BM$, если $SA = 5$ см, $AC = 16$ см, $AB = BC$.

Поскольку ребро $SA$ пирамиды $SABC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то $SA$ является высотой пирамиды.

В основании лежит треугольник $ABC$, в котором, по условию, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Точка $M$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Так как $SA \perp (ABC)$, то $SA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BM$. Таким образом, $SA \perp BM$.

Мы получили, что прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $SA$) в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $SAC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $SK$ и $BM$ можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, содержащей другую прямую. Альтернативный и более удобный в данном случае способ — метод ортогонального проецирования. Поскольку прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $SAC$, расстояние между скрещивающимися прямыми $SK$ и $BM$ будет равно расстоянию от точки $M$ (проекции прямой $BM$ на плоскость $SAC$) до прямой $SK'$ (проекции прямой $SK$ на плоскость $SAC$).

Найдем проекцию прямой $SK$ на плоскость $SAC$. Точки $S$ и $A$ уже лежат в этой плоскости. Проекцией точки $K$ на плоскость $SAC$ будет некоторая точка $K'$. Так как $BM \perp (SAC)$, то проекцией точки $B$ на плоскость $SAC$ является точка $M$. Точка $K$ — середина отрезка $BC$. По свойству ортогонального проецирования, проекция середины отрезка является серединой проекции отрезка. Значит, точка $K'$ является серединой отрезка $MC$.

Рассмотрим плоскость $SAC$ и введем на ней прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось абсцисс направим вдоль луча $AC$, а ось ординат — вдоль луча $AS$. В этой системе координат точки имеют следующие координаты:

• $A(0, 0)$
• $S(0, 5)$, так как $SA = 5$ см.
• $C(16, 0)$, так как $AC = 16$ см.
• $M$ — середина $AC$, следовательно $M(\frac{0+16}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(8, 0)$.
• $K'$ — середина $MC$, следовательно $K'(\frac{8+16}{2}, \frac{0+0}{2}) = K'(12, 0)$.

Теперь задача сводится к нахождению расстояния от точки $M(8, 0)$ до прямой $SK'$, проходящей через точки $S(0, 5)$ и $K'(12, 0)$.

Составим уравнение прямой $SK'$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Подставляя координаты точек $S$ и $K'$:

$\frac{x-0}{12-0} = \frac{y-5}{0-5}$

$\frac{x}{12} = \frac{y-5}{-5}$

$-5x = 12(y-5)$

$-5x = 12y - 60$

Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$:

$5x + 12y - 60 = 0$

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты точки $M(8, 0)$ и коэффициенты уравнения прямой $SK'$:

$d = \frac{|5 \cdot 8 + 12 \cdot 0 - 60|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|40 - 60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-20|}{\sqrt{169}} = \frac{20}{13}$

Таким образом, искомое расстояние между прямыми $SK$ и $BM$ равно $\frac{20}{13}$ см.

Ответ: $\frac{20}{13}$ см.