Номер 11.48, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.48. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точка $M$ — середина ребра $BC$. Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $DM$, если $BD = 3$ см, $AC = 12$ см, $AB = BC = 10$ см.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AC и DM воспользуемся методом, в котором искомое расстояние находится как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Пусть K — середина ребра AB. Поскольку M — середина BC, отрезок MK является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, $MK || AC$.

Рассмотрим плоскость (DMK). Эта плоскость проходит через прямую DM и содержит прямую MK, параллельную AC. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость (DMK) параллельна прямой AC.

Расстояние между скрещивающимися прямыми AC и DM равно расстоянию от любой точки прямой AC до плоскости (DMK). Вычислим это расстояние, найдя высоту тетраэдра CDMK, опущенную из вершины C на основание DMK. Обозначим это расстояние как $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся методом объемов. Объем тетраэдра CDMK можно выразить двумя способами:

1. $V = \frac{1}{3} S_{\triangle DMK} \cdot h$

2. $V = \frac{1}{3} S_{\triangle CKM} \cdot H$, где H — высота, опущенная из вершины D на плоскость (CKM). Так как плоскость (CKM) является частью плоскости (ABC), а по условию ребро $DB \perp (ABC)$, то высота $H$ равна длине ребра DB, то есть $H = DB = 3$ см.

Приравнивая оба выражения для объема, получаем: $S_{\triangle DMK} \cdot h = S_{\triangle CKM} \cdot DB$, откуда $h = \frac{S_{\triangle CKM} \cdot DB}{S_{\triangle DMK}}$.

Найдем площади треугольников CKM и DMK.

1. Вычисление площади $S_{\triangle CKM}$.

Треугольник ABC — равнобедренный с боковыми сторонами $AB = BC = 10$ см и основанием $AC = 12$ см. Проведем высоту BH к основанию AC. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, BH также является медианой, и $HC = AC/2 = 6$ см. Из прямоугольного треугольника BHC по теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника ABC:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Так как K — середина AB, медиана CK делит $\triangle ABC$ на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle CBK$:

$S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см².

В треугольнике CBK отрезок KM является медианой (M — середина BC). Следовательно, KM делит $\triangle CBK$ на два равновеликих треугольника. Площадь $\triangle CKM$:

$S_{\triangle CKM} = \frac{1}{2} S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см².

2. Вычисление площади $S_{\triangle DMK}$.

Найдем длины сторон треугольника DMK.

• $MK = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см (как средняя линия).
• В $\triangle DBM$, который является прямоугольным ($DB \perp BC$), $BM = BC/2 = 5$ см. По теореме Пифагора: $DM^2 = DB^2 + BM^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. $DM = \sqrt{34}$ см.
• В $\triangle DBK$, который является прямоугольным ($DB \perp AB$), $BK = AB/2 = 5$ см. По теореме Пифагора: $DK^2 = DB^2 + BK^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. $DK = \sqrt{34}$ см.

Треугольник DMK — равнобедренный со сторонами $DM = DK = \sqrt{34}$ см и основанием $MK = 6$ см. Проведем высоту DP к основанию MK. DP также является медианой, поэтому $PK = MK/2 = 3$ см. Из прямоугольного треугольника DPK:

$DP = \sqrt{DK^2 - PK^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь треугольника DMK:

$S_{\triangle DMK} = \frac{1}{2} MK \cdot DP = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ см².

3. Нахождение расстояния.

Подставим найденные значения в формулу для $h$:

$h = \frac{S_{\triangle CKM} \cdot DB}{S_{\triangle DMK}} = \frac{12 \cdot 3}{15} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.