Номер 11.49, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.49. Ребро $SA$ пирамиды $SABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $BC$ и $AC$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $SK$ и $BM$, если $SA = 5$ см, $AC = 16$ см, $AB = BC$.

Поскольку ребро $SA$ пирамиды $SABC$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то $SA$ является высотой пирамиды.

В основании лежит треугольник $ABC$, в котором, по условию, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Точка $M$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Так как $SA \perp (ABC)$, то $SA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BM$. Таким образом, $SA \perp BM$.

Мы получили, что прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $SA$) в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $SAC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $SK$ и $BM$ можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, содержащей другую прямую. Альтернативный и более удобный в данном случае способ — метод ортогонального проецирования. Поскольку прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $SAC$, расстояние между скрещивающимися прямыми $SK$ и $BM$ будет равно расстоянию от точки $M$ (проекции прямой $BM$ на плоскость $SAC$) до прямой $SK'$ (проекции прямой $SK$ на плоскость $SAC$).

Найдем проекцию прямой $SK$ на плоскость $SAC$. Точки $S$ и $A$ уже лежат в этой плоскости. Проекцией точки $K$ на плоскость $SAC$ будет некоторая точка $K'$. Так как $BM \perp (SAC)$, то проекцией точки $B$ на плоскость $SAC$ является точка $M$. Точка $K$ — середина отрезка $BC$. По свойству ортогонального проецирования, проекция середины отрезка является серединой проекции отрезка. Значит, точка $K'$ является серединой отрезка $MC$.

Рассмотрим плоскость $SAC$ и введем на ней прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$, ось абсцисс направим вдоль луча $AC$, а ось ординат — вдоль луча $AS$. В этой системе координат точки имеют следующие координаты:

• $A(0, 0)$
• $S(0, 5)$, так как $SA = 5$ см.
• $C(16, 0)$, так как $AC = 16$ см.
• $M$ — середина $AC$, следовательно $M(\frac{0+16}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(8, 0)$.
• $K'$ — середина $MC$, следовательно $K'(\frac{8+16}{2}, \frac{0+0}{2}) = K'(12, 0)$.

Теперь задача сводится к нахождению расстояния от точки $M(8, 0)$ до прямой $SK'$, проходящей через точки $S(0, 5)$ и $K'(12, 0)$.

Составим уравнение прямой $SK'$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Подставляя координаты точек $S$ и $K'$:

$\frac{x-0}{12-0} = \frac{y-5}{0-5}$

$\frac{x}{12} = \frac{y-5}{-5}$

$-5x = 12(y-5)$

$-5x = 12y - 60$

Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+C=0$:

$5x + 12y - 60 = 0$

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты точки $M(8, 0)$ и коэффициенты уравнения прямой $SK'$:

$d = \frac{|5 \cdot 8 + 12 \cdot 0 - 60|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|40 - 60|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-20|}{\sqrt{169}} = \frac{20}{13}$

Таким образом, искомое расстояние между прямыми $SK$ и $BM$ равно $\frac{20}{13}$ см.

Ответ: $\frac{20}{13}$ см.