Номер 11.47, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.47. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, равно $a$. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$. Найдите расстояние между прямыми $DA_1$ и $MD_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $DA_1$ и $MD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба. Направим оси координат вдоль ребер:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $DA$
• Ось $Oy$ вдоль ребра $DC$
• Ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин и точек, необходимых для решения, будут следующими:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, a)$
• $A_1(a, 0, a)$
• $C_1(0, a, a)$

Точка $M$ является серединой ребра $CC_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $C$ и $C_1$:

$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = (0, a, a/2)$

Теперь определим направляющие векторы для прямых $DA_1$ и $MD_1$.

Прямая $DA_1$ проходит через точку $D(0,0,0)$. Ее направляющим вектором является вектор $\vec{v_1} = \vec{DA_1}$:

$\vec{v_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

Прямая $MD_1$ проходит через точку $M(0, a, a/2)$. Ее направляющим вектором является вектор $\vec{v_2} = \vec{MD_1}$:

$\vec{v_2} = (0-0, 0-a, a - a/2) = (0, -a, a/2)$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точкой и направляющим вектором ($P_1, \vec{v_1}$) и ($P_2, \vec{v_2}$), можно найти по формуле, использующей смешанное произведение векторов:

$d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P_1P_2}|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

В нашем случае в качестве точек $P_1$ и $P_2$ можно взять точки $D$ и $M$. Тогда вектор, соединяющий прямые, $\vec{P_1P_2} = \vec{DM} = (0, a, a/2)$.

Сначала найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & a \\ 0 & -a & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a/2 - a \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a/2 - a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = a^2\mathbf{i} - \frac{a^2}{2}\mathbf{j} - a^2\mathbf{k}$

Координаты этого вектора: $(a^2, -\frac{a^2}{2}, -a^2)$.

Теперь найдем модуль этого векторного произведения (знаменатель формулы):

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(a^2)^2 + (-\frac{a^2}{2})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + \frac{a^4}{4} + a^4} = \sqrt{\frac{4a^4+a^4+4a^4}{4}} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}$

Далее вычислим модуль смешанного произведения (числитель формулы):

$|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{DM}| = |(a^2, -\frac{a^2}{2}, -a^2) \cdot (0, a, a/2)| = |a^2 \cdot 0 + (-\frac{a^2}{2}) \cdot a + (-a^2) \cdot \frac{a}{2}| = |0 - \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{2}| = |-a^3| = a^3$

Наконец, найдем искомое расстояние $d$:

$d = \frac{a^3}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$

Ответ: $\frac{2a}{3}$