Номер 11.44, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.44. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ A $ и $ C $ принадлежат плоскости $ \alpha $, а точки $ B $ и $ D $ — плоскости $ \beta $. Известно, что $ AB \perp \alpha $, $ BD = 20 $ см, $ AC = 13 $ см, $ CD = 35 $ см, а расстояние между прямыми $ AB $ и $ CD $ равно $ 12 $ см. Найдите расстояние между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AB \perp \alpha$), а точка $A$ лежит в $\alpha$ и точка $B$ лежит в $\beta$, то длина отрезка $AB$ и есть расстояние между плоскостями. Таким образом, $h = AB$.

Рассмотрим ортогональную проекцию пространственной фигуры на плоскость $\beta$.Точка $A$ из плоскости $\alpha$ проецируется в точку $B$ из плоскости $\beta$, так как $AB \perp \beta$ (поскольку $AB \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$).Точка $C$ из плоскости $\alpha$ проецируется в некоторую точку $C'$ в плоскости $\beta$. При этом отрезок $CC'$ перпендикулярен плоскости $\beta$ и его длина равна расстоянию между плоскостями, то есть $CC' = h$.Фигура $AB C'C$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CC'$ (оба перпендикулярны $\beta$) и $AB = CC' = h$. Следовательно, длина проекции отрезка $AC$ на плоскость $\beta$, то есть отрезка $BC'$, равна длине самого отрезка $AC$.$BC' = AC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CC'D$. В нем катет $CC' = h$, гипотенуза $CD = 35$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $C'D$, который является проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\beta$:$CD^2 = CC'^2 + C'D^2$$35^2 = h^2 + C'D^2$$C'D^2 = 1225 - h^2$

Теперь рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Это скрещивающиеся прямые. Расстояние между ними равно 12 см.Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\beta$, то расстояние от любой точки прямой $AB$ (например, от точки $B$) до плоскости, проходящей через $CD$ и параллельной $AB$, будет равно расстоянию между прямыми. Такая плоскость будет перпендикулярна плоскости $\beta$, а ее линия пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $C'D$.Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $C'D$ в плоскости $\beta$ равно 12 см. Это расстояние является высотой $BH$ треугольника $\triangle BC'D$, проведенной из вершины $B$ к стороне $C'D$. Итак, $BH = 12$ см.

В плоскости $\beta$ у нас есть треугольник $\triangle BC'D$ со сторонами $BC' = 13$ см, $BD = 20$ см и высотой $BH = 12$ см.Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных этой высотой: $\triangle BHC'$ и $\triangle BHD$.В $\triangle BHC'$ по теореме Пифагора:$HC'^2 = BC'^2 - BH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$HC' = \sqrt{25} = 5$ см.В $\triangle BHD$ по теореме Пифагора:$HD^2 = BD^2 - BH^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$HD = \sqrt{256} = 16$ см.

Длина стороны $C'D$ зависит от расположения точки $H$ (основания высоты) на прямой $C'D$. Возможны два случая:

Случай 1: Точка $H$ лежит между точками $C'$ и $D$.В этом случае длина стороны $C'D$ равна сумме длин отрезков $HC'$ и $HD$:$C'D = HC' + HD = 5 + 16 = 21$ см.Теперь подставим это значение в ранее полученное уравнение $C'D^2 = 1225 - h^2$:$21^2 = 1225 - h^2$$441 = 1225 - h^2$$h^2 = 1225 - 441 = 784$$h = \sqrt{784} = 28$ см.

Случай 2: Точка $C'$ лежит между точками $H$ и $D$ (или $D$ между $H$ и $C'$).В этом случае длина стороны $C'D$ равна модулю разности длин отрезков $HD$ и $HC'$:$C'D = |HD - HC'| = |16 - 5| = 11$ см.Подставим это значение в уравнение $C'D^2 = 1225 - h^2$:$11^2 = 1225 - h^2$$121 = 1225 - h^2$$h^2 = 1225 - 121 = 1104$$h = \sqrt{1104} = \sqrt{16 \cdot 69} = 4\sqrt{69}$ см.

Оба случая приводят к геометрически возможным конфигурациям. Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 28 см или $4\sqrt{69}$ см.