Номер 11.39, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.39. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $C_1D_1$. Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AMD$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁.

В этой системе координат основные точки будут иметь следующие координаты:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, a)$
• $C_1(0, a, a)$

Точка M — середина ребра $C_1D_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат концов отрезка:

$M = \left(\frac{x_{C_1}+x_{D_1}}{2}, \frac{y_{C_1}+y_{D_1}}{2}, \frac{z_{C_1}+z_{D_1}}{2}\right) = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки A, M и D. Поскольку плоскость проходит через начало координат D(0, 0, 0), ее уравнение имеет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Для нахождения коэффициентов A, B, C найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости, например $\vec{DA}$ и $\vec{DM}$. Вычислим $\vec{n}$ как их векторное произведение.

Найдем координаты векторов, исходящих из точки D:

$\vec{DA} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{DM} = (0-0, \frac{a}{2}-0, a-0) = (0, \frac{a}{2}, a)$

Векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DA} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a}{2} & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot \frac{a}{2}) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, \frac{a^2}{2})$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный ему вектор. Умножим полученный вектор на $\frac{2}{a^2}$ (при $a \neq 0$), чтобы упростить его: $\vec{n'} = (0, -2, 1)$.

Уравнение плоскости AMD, проходящей через точку D(0,0,0) с вектором нормали $\vec{n'} = (0, -2, 1)$, имеет вид:

$0(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$

$-2y + z = 0$

Искомое расстояние — это расстояние от точки $D_1(0, 0, a)$ до плоскости $-2y + z = 0$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим координаты точки $D_1$ и коэффициенты уравнения плоскости ($A=0, B=-2, C=1, D=0$):

$d = \frac{|0 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot a|}{\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{4+1}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{5}}{5}$