Номер 11.32, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.32. Прямая $m$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и перпендикулярна его плоскости. Расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = 10$ см.

Пусть плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, называется $\alpha$. По условию, прямая $m$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $m \perp \alpha$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $BC$ лежит в этой плоскости и не проходит через точку $A$, то прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдём этот общий перпендикуляр.

Проведём в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$. Высота $AH$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она по определению перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна и высоте $AH$, так как $AH$ лежит в $\alpha$. Таким образом, $m \perp AH$.

Мы установили, что отрезок $AH$ перпендикулярен как прямой $m$, так и прямой $BC$. Это означает, что $AH$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $m$ и $BC$. Длина этого отрезка и есть расстояние между данными прямыми.

По условию задачи, расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 8 см. Следовательно, длина высоты $AH$ треугольника $ABC$ равна 8 см.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина основания, а $h_a$ — длина высоты, проведённой к этому основанию.

В нашем случае в качестве основания возьмём сторону $BC$, длина которой по условию равна 10 см. Высотой, проведённой к этому основанию, является $AH = 8$ см.

Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: 40 см$^2$.