Номер 11.27, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.27. Через вершину $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) проведена плоскость $\beta$, параллельная прямой $AC$. Найдите проекцию гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$, если $BC = 20$ см, $AC = 15$ см, а проекция катета $BC$ на эту плоскость равна 12 см.

Пусть $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — ортогональные проекции вершин $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ на плоскость $\beta$.

Поскольку плоскость $\beta$ проходит через вершину $B$, проекция точки $B$ на эту плоскость совпадает с самой точкой, то есть $B_1 \equiv B$.

Проекцией катета $BC$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC_1$. По условию задачи, его длина равна 12 см. Отрезок $CC_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на плоскость $\beta$. Следовательно, $\triangle BCC_1$ является прямоугольным, где $BC$ — гипотенуза, а $BC_1$ и $CC_1$ — катеты. Длина $CC_1$ представляет собой расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$. Найдем его по теореме Пифагора:

$CC_1^2 = BC^2 - BC_1^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$

$CC_1 = \sqrt{256} = 16$ см.

По условию, прямая $AC$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\beta$. Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $\beta$ (длина перпендикуляра $AA_1$) равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\beta$.

$AA_1 = CC_1 = 16$ см.

Теперь найдем длину гипотенузы $AB$ в исходном прямоугольном $\triangle ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Проекцией гипотенузы $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $A_1B$. Так как $AA_1$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $\triangle AA_1B$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$. Длину катета $A_1B$, который и является искомой проекцией, найдем по теореме Пифагора:

$A_1B^2 = AB^2 - AA_1^2 = 25^2 - 16^2 = 625 - 256 = 369$

$A_1B = \sqrt{369} = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$ см.

Ответ: $3\sqrt{41}$ см.