Номер 11.24, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.24. Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC и удалена от плоскости ABC на расстояние $d$. Найдите расстояние от точки M до вершин данного треугольника, если $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$.

Пусть точка O — проекция точки M на плоскость треугольника ABC. Тогда расстояние от точки M до плоскости ABC — это длина перпендикуляра MO, то есть $MO = d$.

По условию точка M равноудалена от вершин треугольника ABC. Это означает, что расстояния от M до A, B и C равны. Обозначим это расстояние как L. Таким образом, $MA = MB = MC = L$. Нам необходимо найти это расстояние L.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. Они прямоугольные, так как MO перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости (включая OA, OB, OC). У этих треугольников общий катет MO, а их гипотенузы равны ($MA = MB = MC$). Следовательно, равны и вторые катеты: $OA = OB = OC$.

Так как точка O в плоскости треугольника ABC равноудалена от его вершин A, B и C, то O является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Расстояние от центра описанной окружности до вершин является ее радиусом R. Таким образом, $OA = OB = OC = R$.

Для нахождения радиуса R описанной окружности воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника ABC, которая гласит: $\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R$

По условию задачи нам даны сторона $BC = a$ и противолежащий ей угол $\angle BAC = \alpha$. Подставим эти значения в формулу: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда выразим радиус R: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MOA$. По теореме Пифагора: $MA^2 = MO^2 + OA^2$

Мы ищем расстояние MA. Подставим известные значения $MO = d$ и $OA = R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$: $MA^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2 = d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}$

Извлекая квадратный корень, находим искомое расстояние от точки M до вершин треугольника: $MA = \sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$

Ответ: $\sqrt{d^2 + \frac{a^2}{4 \sin^2 \alpha}}$