Номер 11.29, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.29. Вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD$ принадлежат плоскости $\alpha$, а вершины $C$ и $D$ не принадлежат этой плоскости. Найдите расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 5$ см, $BC = 12$ см, а проекция диагонали прямоугольника на плоскость $\alpha$ равна $2\sqrt{22}$ см.

Пусть $ABCD$ - данный прямоугольник, а $\alpha$ - данная плоскость.

По условию, вершины $A$ и $B$ прямоугольника принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $CD \parallel AB$.

Поскольку прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $AB$, которая лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ ($CD \parallel \alpha$).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $C$ до плоскости $\alpha$. Опустим перпендикуляр $CC_1$ из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $CC_1$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим диагональ $AC$. Поскольку точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекцией на эту плоскость является сама точка $A$. Проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$ является точка $C_1$. Следовательно, отрезок $AC_1$ является проекцией диагонали $AC$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этой проекции равна $AC_1 = 2\sqrt{22}$ см.

Отрезок $AC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, $AC_1$ - ее проекцией, а $CC_1$ - перпендикуляром. Следовательно, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом $C_1$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $B = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ Подставим известные значения $AB = 5$ см и $BC = 12$ см: $AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $AC = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вернемся к треугольнику $ACC_1$ и найдем искомое расстояние $CC_1$: $CC_1^2 = AC^2 - AC_1^2$ $CC_1^2 = 13^2 - (2\sqrt{22})^2 = 169 - 4 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$ $CC_1 = \sqrt{81} = 9$ см.

Таким образом, расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см.

Ответ: 9 см.