Номер 11.35, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.35. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AO$ и наклонные $AB$ и $AC$ так, что $\angle ABO = \angle ACO = 45^\circ$, а косинус угла между наклонными равен $\frac{1}{4}$. Найдите угол между проекциями данных наклонных.

Пусть $AO$ — перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$, где $O$ — основание перпендикуляра. $AB$ и $AC$ — наклонные к плоскости $\alpha$, а отрезки $OB$ и $OC$ являются их проекциями на эту плоскость.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость. По условию задачи, $\angle{ABO} = \angle{ACO} = 45^\circ$.

Поскольку $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $AO \perp OB$ и $AO \perp OC$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Так как один из его острых углов $\angle{ABO} = 45^\circ$, то он является равнобедренным, и его катеты равны: $AO = OB$. Длину гипотенузы (наклонной) $AB$ можно выразить через катет $AO$: $AB = \frac{AO}{\sin(45^\circ)} = \frac{AO}{1/\sqrt{2}} = AO\sqrt{2}$.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AOC$ с острым углом $\angle{ACO} = 45^\circ$ получаем, что он также равнобедренный: $AO = OC$. Длина наклонной $AC$ также равна $AC = AO\sqrt{2}$.

Таким образом, мы установили, что проекции наклонных равны между собой ($OB = OC = AO$), и сами наклонные также равны ($AB = AC = AO\sqrt{2}$).

Угол между наклонными — это угол $\angle{BAC}$ в треугольнике $\triangle ABC$. По условию, косинус этого угла равен $\frac{1}{4}$. Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle ABC$, чтобы найти квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle{BAC})$ $BC^2 = (AO\sqrt{2})^2 + (AO\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (AO\sqrt{2}) \cdot (AO\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{4}$ $BC^2 = 2AO^2 + 2AO^2 - 2 \cdot (2AO^2) \cdot \frac{1}{4}$ $BC^2 = 4AO^2 - AO^2$ $BC^2 = 3AO^2$.

Искомый угол между проекциями — это угол $\angle{BOC}$ в треугольнике $\triangle BOC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем длины всех его сторон, выраженные через $AO$: $OB = AO$, $OC = AO$, и $BC^2 = 3AO^2$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle BOC$: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle{BOC})$ $3AO^2 = AO^2 + AO^2 - 2 \cdot AO \cdot AO \cdot \cos(\angle{BOC})$ $3AO^2 = 2AO^2 - 2AO^2 \cos(\angle{BOC})$ Разделим обе части уравнения на $AO^2$ (поскольку $AO \neq 0$): $3 = 2 - 2\cos(\angle{BOC})$ $1 = -2\cos(\angle{BOC})$ $\cos(\angle{BOC}) = -\frac{1}{2}$.

Угол $\angle{BOC}$ должен быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственный угол в этом диапазоне, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, — это $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.