Номер 11.41, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.41. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Найдите расстояние между прямыми $B_1D$ и $AC$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $B_1D$ и $AC$ воспользуемся геометрическим методом. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

1. Рассмотрим плоскость диагонального сечения куба $BDD_1B_1$.
Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, следовательно, $BB_1 \perp AC$.
Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$), лежащим в плоскости $BDD_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

2. Прямая $B_1D$ (пространственная диагональ куба) полностью лежит в плоскости $BDD_1B_1$, так как точки $B_1$ и $D$ принадлежат этой плоскости.

3. Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BDD_1B_1$, содержащей прямую $B_1D$, то общий перпендикуляр к прямым $AC$ и $B_1D$ будет лежать в плоскости $BDD_1B_1$. Один конец этого перпендикуляра будет точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $BDD_1B_1$, а другой — основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую $B_1D$.

4. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ в основании куба. Эта точка $O$ и является точкой пересечения прямой $AC$ с плоскостью $BDD_1B_1$. Таким образом, задача сводится к нахождению длины перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $B_1D$ в плоскости $BDD_1B_1$.

5. Рассмотрим сечение $BDD_1B_1$. Это прямоугольник, так как рёбра $DD_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости основания, а значит, и прямой $BD$.
Стороны этого прямоугольника: ребро $DD_1 = 1$ см и диагональ основания $BD$.
Длину $BD$ найдем по теореме Пифагора для треугольника $ABD$:$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

6. В прямоугольнике $BDD_1B_1$ нам нужно найти расстояние от точки $O$ (середины стороны $BD$) до диагонали $B_1D$. Для этого рассмотрим треугольник $D B_1 B$. Он прямоугольный ($ \angle DBB_1 = 90^\circ $). Точка O лежит на катете DB. Нет, рассмотрим треугольник $D D_1 B_1$. Он прямоугольный. Лучше рассмотрим треугольник $O D B_1$. Найдем его площадь двумя способами.
Длина отрезка $DO$ равна половине длины $BD$: $DO = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

7. Найдем площадь треугольника $ODB_1$. За основание примем сторону $DO$, которая лежит на прямой $DB$. Высотой, опущенной из вершины $B_1$ на прямую $DB$, будет отрезок $B_1B$ (или $D_1D$), длина которого равна 1 см.$S_{ODB_1} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot B_1B = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{4}$ см$^2$.

8. С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $DB_1$ и высоту $OH$, опущенную из точки $O$ на $DB_1$. Длина $OH$ и есть искомое расстояние.
Длину $DB_1$ (пространственная диагональ куба) найдем из прямоугольного треугольника $BDD_1$:$DB_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ см.
Площадь треугольника $ODB_1$:$S_{ODB_1} = \frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH$.

9. Приравняем два выражения для площади:$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{3} \cdot OH = \frac{\sqrt{2}}{2}$$OH = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.